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Comportement asymptotique du point intermédiaire dans la formule de Taylor-Lagrange
Soit \(f\,:\,\mathbb R\to\mathbb R\) une application \(n\) fois dérivable. Fixons \(x\in\mathbb R\), alors pour \(h>0\) la formule de Taylor-Lagrange assure de l’existence d’un réel \(\theta(h)\) tel que
\[f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\dots+{{h^{n-1}}\over{(n-1)!}}f^{(n-1)}(x)+{{h^n}\over{n!}}f^{(n)}(x+\theta(h)h).\] Si de plus \(f^{(n+1)}(x)\) existe et est différent de zéro,montrer que
\[\lim_{h\to 0}\theta(h)={1\over n+1}.\]
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[ID: 2687] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
Comportement asymptotique du point intermédiaire dans la
formule de Taylor-Lagrange
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:18
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:18
Par Taylor-Young
\[f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\dots+{{h^{n}}\over{n!}}f^{(n)}(x)+ {{h^{n+1}}\over{(n+1)!}}f^{(n+1)}(x)+o(h^{n+1})\]
et par Taylor-Lagrange
\[f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\dots+{{h^{n-1}}\over{(n-1)!}}f^{(n-1)}(x)+{{h^n}\over{n!}}f^{(n)}(x+\theta(h)h)\]
soit
\[{{f^{(n)}(x+\theta(h)h)-f^{(n)}(x)}\over h}={{f^{(n+1)}(x)}\over n+1}+{{o(h)}\over h}\]
et
\[\theta(h)={{{{f^{(n+1)}(x)}\over n+1}+{{o(h)}\over h}}\over{{{f^{(n)}(x+\theta(h)h)-f^{(n)}(x)}\over \theta(h)h}}}\]
puisque \(f^{(n+1)}(x)\ne 0\) on peut passer à la limite dans cette dernière égalité et le résultat suit.
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