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[ID: 2685] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Approche matricielle du théorème des accroissements finis
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:18

\(F\) est clairement continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\) avec

\[F'(x)=\det\begin{pmatrix} f'(x)&g'(x)&h'(x)\\ f(a)&g(a)&h(a)\\ f(b)&g(b)&h(b)\end{pmatrix}\]

et vu les propriétés classiques du déterminant \(F(a)=F(b)=0\). Le théorème de Rolle assure alors l’existence de \(c\in]a,b[\) tel que \(F'(c)=0\).

Avec \(g(x)=x\) et \(h\equiv 1\) il vient

\[F'(c)=\det\begin{pmatrix} f'(c)&1&0\\ f(a)&a&1\\ f(b)&b&1\end{pmatrix}=0\]

soit \(f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\) i.e. le théorème des accroissements finis.

Si maintenant on choisit \(h\equiv 1\)

\[F'(c)=\det\begin{pmatrix} f'(c)&g'(c)&0\\ f(a)&g(a)&1\\ f(b)&g(b)&1\end{pmatrix}=0\]

nous donne

\[\exists\,c\in]a,b[\ :\ g'(c)(f(b)-f(a))=f'(c)(g(b)-g(a))\]

version forte du théorème des accroissements finis.