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[ID: 2683] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Dérivation
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:18

Si l’une des quatre applications \(f^{(i)}, 0\leq i\leq 3\) n’est pas de signe constant le problème est trivial. Supposons donc \(f,f',f'',f'''\) de signe constant, alors \(f\) et \(f''\) sont de même signe. Pour cela, si \(f''>0\) la formule de Taylor-Lagrange nous donne pour tout \(x\in\mathbb R\) \[f(x)=f(0)+xf'(0)+\dfrac{x^2}{2}f''(c_x)>f(0)+xf'(0)\] et \(f(0)+xf'(0)\) est certainement positif pour \(x\) suffisament grand et du signe de \(f'(0)\) : \(f\) étant supposée de signe constant \(f>0\) sur \(\mathbb R\)(on procède de manière analogue si \(f''<0\)). Ainsi \(f(x)f''(x)>0,\ \forall\,x\in\mathbb R\). Ce même raisonnement vaut pour le couple \(f', f'''\) et le résultat est démontré.

  Remarque : L’hypothèse \(\mathscr C^3\) est en fait superflue : trois fois dérivable suffit si l’on se souviens qu’une dérivée possède toujours la propriété des valeurs intermédiaires.