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[ID: 2681] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Deux fonctions \(f,g\) dérivables telles que \(f'g'\) ne soit pas une dérivéee
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:18

Considérons¹ les applications \(f,g\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) définie par \[f(x)=\begin{cases} x^2\sin(1/x) \quad &\text{ si }\quad x\neq 0\\ 0 \quad &\text{ si }\quad x=0,\end{cases}\] et \[g(x)=\begin{cases} 2x\sin(1/x)\quad &\text{ si }\quad x\neq 0\\ 0 \quad &\text{ si }\quad x=0.\end{cases}\] \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) avec \[f'(x)=\begin{cases} 2x\sin(1/x)-\cos(1/x) \quad &\text{ si }\quad x\neq 0\\ 0 \quad &\text{ si }\quad x=0,\end{cases}\] \(g\) est continue sur \(\mathbb R\), c’est donc une dérivée. Par conséquent, \(h:=g-f'\) est une dérivée : il existe donc une application dérivable \(H\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) telle que \[H'(x)=h(x)=g(x)-f'(x)=\begin{cases} \cos(1/x) \quad &\text{ si }\quad x\neq 0\\ 0 \quad &\text{ si }\quad x=0.\end{cases}\] Considérons alors \[h^2(x)=\begin{cases} \dfrac{1+\cos(2/x)}{2} \quad &\text{ si }\quad x\neq 0\\ 0 \quad &\text{ si }\quad x=0,\end{cases}\] nous allons vérifier que \(h^2\) n’est pas une dérivée et répond donc à notre problème. Supposons qu’il existe une application dérivable \(D\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) telle que \(D'=h^2\), en notant \(\tilde H(x)=H(x/2)\) nous avons \[\tilde H'(x)=\begin{cases} \dfrac{\cos(2/x)}{2} \quad &\text{ si }\quad x\neq 0\\ 0 \quad &\text{ si }\quad x=0,\end{cases}\] qui implique \[D'(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}+\tilde H'(x) \quad &\text{ si }\quad x\neq 0\\ \tilde H'(x) \quad &\text{ si }\quad x=0,\end{cases}\] ou encore \[D'(x)-\tilde H'(x) =\left( D(x)-\tilde H(x) \right)' = \begin{cases} \dfrac{1}{2} \quad &\text{ si }\quad x\neq 0\\ 0 \quad &\text{ si }\quad x=0.\end{cases}\] Mais il est bien connu (cf autre exo) qu’une dérivée ne peut avoir une discontinuité de première espèce : contradiction et l’application \(h^2\) est bien sans primitive.

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1. Wilkosz W. Fundamenta Mathematicae, (2)-1921.↩︎