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[ID: 2679] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:18] [Catégorie(s): Dérivabilité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Existence d’un opérateur à la dérivée de Dirac sur \(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:18

\(\mathbf{1}\) désignant la fonction constante \(x\mapsto\mathbf{1}(x)=1\) nous avons \(D(\mathbf{1}.\mathbf{1})=D(\mathbf{1})=D(\mathbf{1})+D(\mathbf{1})\), soit \(D(\mathbf{1})=0\) et par suite \(D\) est nulle sur toutes les applications constantes. Comme pour toute \(f\in\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\), \(f=(f-f(0))+f(0)\ \Rightarrow \ D(f)=D(f-f(0))\) il est suffisant de se concentrer sur la restriction de \(D\) sur les applications nulles à l’origine ; pour une telle application \(D(f^2)=0\) si bien que pour \(f\geq 0\) : \(D(f)=D((\sqrt{f})^2)=0\). Dans le cas général, comme il est toujours possible d’écrire \(f\) comme différence de deux fonctions continues, positives et nulles à l’origine (\(f=\max\{f(x),0\}-\max\{-f(x),0\}\)) on a encore \(D(f)=0\) et la seule forme linéaire qui convienne est la forme identiquement nulle.