Déterminer toutes les fonctions \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) vérifiant \[\forall\,x\in\mathbb R,\ q\in\mathbb Q\ :\ \vert f(x)-f(q)\vert\leq \vert x-q\vert^2.\]


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[ID: 2677] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:00] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Une inéquation fonctionnelle
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:00

Soit \(f\) une solution éventuelle. Pour \(a<b\) deux rationnels, \(n\in\mathbb N^\star\) et \(i\in\{0,1,\dots,n\}\) posons \(a_i=a+i\frac{b-a}{n}\). Il est clair que les réels \(a_i\) sont rationnels et l’inégalité triangulaire nous donne \[\vert f(a)-f(b)\vert\leq \sum_{i=0}^{n-1}\vert f(a_i)-f(a_{i-1})\vert \leq 7 \sum_{i=0}^{n-1}\vert a_i-a_{i-1}\vert^2=7\frac{(b-a)^2}{n}.\] En faisant tendre maintenant \(n\) vers \(+\infty\) on en déduit que \(f(a)=f(b)\) : \(f\) est donc constante sur \(\mathbb Q\).

Montrons que est constante sur \(\mathbb R\) : On a déja \(f(q)=r\) pour tout \(q\in\mathbb Q\) ; pour \(x\in\mathbb R\) considérons une suite de rationnels \((q_n)_n\) qui converge vers \(x\), alors \[\vert f(x)-r\vert=\vert f(x)-f(q_n)\vert\leq 7\vert x-q_n\vert^2\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0.\] i.e. \(f(x)=r\) : \(f\) est bien constante. Réciproquement, il est facile de vérifier que les fonctions constantes sont solutions du problème.


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