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[ID: 2675] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:00] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Encore quelques équations fonctionnelles
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:00

1. a) Soit \(f\) une solution de l’équation fonctionnelle, clairement \(f(0)=0\), et en remplacant \(x\) par \(x/2\) on a pour tout \(x\) réel : \(f(x)+f(x/2)=0\) soit \(f(x)=-f(x/2)=f(x/2^2)=\dots=(-1)^kf(x/2^k),\ k\in\mathbb N\). De là, par continuité de \(f\) à l’origine \[f(x)=\lim_{k\to\infty}(-1)^kf(x/2^k)=f(0)=0,\] \(f\) est donc identiquement nulle. Réciproquement la fonction identiquement nulle vérifie l’équation fonctionnelle, c’est donc l’unique solution.

   Remarques : On a seulement utilisé la continuité à l’origine, et on peut remplacer \(2\) par tout autre réel strictement positif.

2. Sans perdre de généralité, supposons \(a>b>c\) et soit \(f\) une solution de l’équation, comme dans la première question on peut écrire pour tout \(x\in\mathbb R\) \[\begin{aligned} f(x)&=-f\left( \dfrac{bx}{a}\right) -f\left( \dfrac{cx}{a}\right)\\ &=f\left( \dfrac{b^2x}{a^2}\right)+2f\left( \dfrac{bcx}{a^2}\right)+f\left( \dfrac{c^2x}{a^2}\right) \\ &=-f\left( \dfrac{b^3x}{a^3}\right)-3f\left( \dfrac{b^2cx}{a^3}\right)-3f\left( \dfrac{bc^2x}{a^3}\right)-f\left( \dfrac{c^3x}{a^3}\right)\\ &=(-1)^n\sum_{k=0}^n \,C_n^k f\left( \dfrac{b^kc^{n-k}x}{a^n}\right)\,\ \forall\,n\in\mathbb N, \end{aligned}\] où la dernière égalité résulte d’une récurrence élémentaire sur \(n\). \(f\) étant de classe \(\mathcal C^\infty\), on peut dériver cette dernière expression à tout ordre : \[\forall\,x\in\mathbb R,\ \forall\,N,n\in\mathbb R\ :\ f^{(N)}(x)=(-1)^n\sum_{k=0}^n \,C_n^k \left( \dfrac{b^kc^{n-k}}{a^n}\right)^Nf^{(N)}\left( \dfrac{b^kc^{n-k}x}{a^n}\right).{(\bigstar)}\] Fixons \(x\) dans \(\mathbb R\), comme \(a>b>c>0\) on a \(\vert b^kc^{n-k}x/a^n\vert< \vert b^nx/a^n\vert\leq \vert x\vert\) pour tout \(n\in\mathbb N\) et \(k\in\{0,1,\dots,n\}\). Donc, avec \((\bigstar)\) nous avons pour tout \(x\in\mathbb R,\ n,N\in\mathbb N\) : \[\begin{aligned}\vert f^{(N)}(x)\vert&\leq \sum_{k=0}^n \,C_n^k \left( \dfrac{b^kc^{n-k}}{a^n}\right)^N\Vert f^{(N)}\Vert_{[-x,x]}\\ &\leq \Vert f^{(N)}\Vert_{[-x,x]} \sum_{k=0}^n \,C_n^k \left( \dfrac{b}{a}\right)^{nN}=\Vert f^{(N)}\Vert_{[-x,x]}\left(\dfrac{2b^N}{a^N}\right)^n \end{aligned}\] Fixons \(N\) suffisament grand pour que \(0<2b^N/a^N<1\) et \(x\in\mathbb R\), comme pour tout \(n\in\mathbb N\) \[\vert f^{(N)}(x)\vert\leq \Vert f^{(N)}\Vert_{[-x,x]}\left(\dfrac{2b^N}{a^N}\right)^n,\] on en déduit en faisant tendre \(n\) vers \(+\infty\) que \(f^{(N)}(x)=0\) pour tout réel \(x\) : \(f\) est donc un polynôme \(f(x)=a_dx^d+\dots+a_1x+a_0\). L’équation fonctionnelle s’écrit alors \[a_d(a^d+b^d+c^d)x^d+\dots+a_1(a+b+c)+3a_0=0,\quad\forall\,x\in\mathbb R.\] \(a,b,c\) étant strictement positifs : la seule alternative est \(a_d=\dots=a_1=a_0=0\). \(f\) est donc identiquement nulle. Réciproquement la fonction identiquement nulle vérifie l’équation fonctionnelle, c’est donc l’unique solution.