Déterminer les fonctions \(f\in\mathscr C^1(\mathbb R)\) vérifiant \[f^{2}(x)=\int_0^x\,\left( f^2(t)+f'^2(t)\right)dt+2007,\quad x\in\mathbb R.{(\text{$\star$})}\]


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[ID: 2673] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:00] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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L’équation fonctionnelle \(f^{2}(x)=\int_0^x\,\left( f^2(t)+f'^2(t)\right)dt+2007\).
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:00

Les deux fonctions de part et d’autre de l’égalité (\(\star\)) seront égales si elles ont même dérivée et coïncident à l’origine. Dérivons (\(\star\)), on tombe sur \[2f(x)f'(x)=f^2(x)+f'^2(x),\quad x\in\mathbb R,\] ou encore \((f-f')^2(x)=0,\ x\in\mathbb R\), soit \(f=f'\) et finalement \(f(x)=Ce^x,\ x\in\mathbb R\). Enfin l’évaluation à l’origine donne \(f^2(0)=2007\) ; les solutions de l’équation fonctionnelle (\(\star\)) sont les deux fonctions \(f(x)=\pm\sqrt{2007}e^x\).


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