Soit \(f\ :\ \mathbb R_+^\star\to\mathbb R\). Si \[\lim_{x\to 0}f(x)=0\quad\text{et}\quad f(x)-f\left( \dfrac{x}{2}\right) =o(x),\ (x\to 0),\] montrer que \(\quad f(x)=o(x),\ (x\to 0).\)


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[ID: 2671] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:00] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Des petits o
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:00

Soit \(\varepsilon>0\), vu la seconde hypothèse, il existe \(\delta>0\) tel que \[0<x<\delta\quad\Rightarrow\quad \left\vert \dfrac{f(x)-f(x/2)}{x}\right\vert<\dfrac{\varepsilon}{2}.{(\text{$\star$})}\] Fixons nous \(y\in]0,\delta[\), comme on peut écrire pour tout \(n\in\mathbb N^\star\) \[f(y)=\left( f(y)-f(y/2)\right) + \left( f(y/2)-f(y/4)\right)+\dots+\left( f(y/2^{n-1})-f(y/2^n)\right)+f(y/2^n),\] on en déduit avec (\(\star\)) \[\begin{aligned} \vert f(y)\vert &\leq \sum_{j=1}^n\,\vert f(y/2^{j-1})-f(y/2^{j})\vert+\vert f(y/2^n)\vert\\ &\leq \sum_{j=1}^n \,\dfrac{y}{2^j}\varepsilon+\vert f(y/2^n)\vert\\ &\leq \varepsilon y(1-2^{-n})+\vert f(y/2^n)\vert\\ &\leq \varepsilon y +\vert f(y/2^n)\vert \end{aligned}\] pour tout \(n\in\mathbb N^\star\). De là, comme \(\lim_{x\to 0}f(x)=0\), en faisant tendre \(n\) vers l’infini il reste \[\vert f(y)\vert\leq \varepsilon y.\] Résumons nous : pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(\delta>0\) tel que pour tout \(0<y<\delta\) tel que \(\vert f(y)/y\vert\leq \varepsilon\) ; autrement dit \(f(x)=o(x)\) CQFD.


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