On dira qu’une suite \((x_n)_n\) de nombres réels converge vers \(x\in\mathbb R\) au sens de Césaro si \[\lim_{n\to\infty}\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=x\] et on écrira \(x_n\to x\ (C)\). Il est bien connu que la convergence usuelle implique la convergence au sens de Cesàro et que la réciproque esr fausse. On dira qu’une application \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) est continue au sens de Cesàro au point \(x\), si \(x_n\to x\ (C)\) implique \(f(x_n)\to f(x)\ (C)\).

  1. Etudier la continuité au sens de Cesàro des applications \(f(x)=ax+b,\ g(x)=\sqrt{x},\ h(x)=x^2\) sur leur domaine de définition

  2. Soit \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) une application continue au sens de Cesàro en un point \(x_0\in\mathbb R\).

    -Montrer qu’on peut toujours supposer que \(x_0=0\) et \(f(x_0)=0\).

    -Soient \(a,b\in\mathbb R\). Montrer que la suite \(a,\ b,\ -(a+b),\ a,\ b,\ -(a+b),a,\ b,\ -(a+b),\ \dots\) converge au sens de Cesàro vers \(0\). En déduire que \(f(a+b)=f(a)+f(b)\).

    -Montrer que \(f(qx)=qf(x)\) pour tout \(x\in\mathbb R,\ q\in\mathbb Q\).

    -Soit \((x_n)_n\) une suite convergente vers \(0\). Montrer qu’il existe une suite de réels \((y_n)_n\) telle que \(x_n=n^{-1}(y_1+\dots+y_n)\) pour tout \(n\in\mathbb N^\star\).

    -Montrer que \(f\) est continue à l’origine.

    -En déduire que \(f\) est de la forme \(f(x)=ax+b\).

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[ID: 2669] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:00] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Continuité ordinaire et continuité au sens de Cesàro
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:00

  2. Soit \(f\) une fonction continue au sens de Cesàro au point \(x_0\).

    -Quitte à considérer \(g=f-f(x_0)\) on peut supposer que \(f(x_0)=0\) et quitte à remplacer \(g(x)\) par \(h(x)=g(x+x_0)\) on peut supposer que \(x_0=0\). Nous considérerons donc dans la suite une application \(f\) continue au sens de Cesàro à l’origine et vérifiant \(f(0)=0\).

    -Soient \(a,b\) deux réels quelconques, de manière évidente, la suite \[a,\ b,\ -(a+b),\ a,\ b,\ -(a+b),a,\ b,\ -(a+b,\ \dots\] converge au sens de Cesàro vers \(0\). \(f\) étant par hypothèse continue au sens de Cesàro à l’origine, il en est donc de même pour la suite \[f(a),\ f(b),\ f(-(a+b)),\ f(a),\ f(b),\ f(-(a+b)),\dots\] Mais cette derière converge au sens de Cesàro vers \(f(a)+f(b)+f(-(a+b))\). Nous avons donc \(f(0)=0=f(a)+f(b)+f(-(a+b))\), soit \[f(a)+f(b)=-f(-(a+b)),\quad\forall\,a,b\in\mathbb R.\] En choisissant \(b=0\) il vient \[f(a)=-f(-a),\quad\forall\,a\in\mathbb R,\] qui nous donne finalement \[f(a)+f(b)=f(a+b),\quad\forall\,a,b\in\mathbb R.\]

    Nous venons donc de démontrer que toute fonction continue au sens de Cesàro en au moins un point vérifie l’équation fonctionnelle de Cauchy : \(f(a)+f(b)=f(a+b),\quad\forall\,a,b\in\mathbb R\), une équation que nous avons étudiée dans un autre exercice (voir .........). Nous savons en particulier que \(f\) sera de la forme \(f(x)=ax+b\) dès qu’elle sera continue en au moins un point ; mais ici c’est au sens de Cesàro que \(f\) est continue et il n’est donc pour le moment pas possible de conclure... Les deux prochaines questions vont justement établir l’hypothèses manquante à savoir la continuité de \(f\) à l’origine.

    -L’existence de la suite \((y_n)_n\) revient à résoudre les équations \[y_1+y_2+\dots+y_n=nx_n,\quad\forall\,n\in\mathbb N^\star.\] Soit \[y_n=nx_n-(n-1)x_{n-1},\quad n\in\mathbb N^\star\] (avec la convention \(x_0=0\)).

    -Comme \[\lim_{n\to\infty}\dfrac{y_1+y_2+\dots+y_n}{n}=\lim_{n\to\infty} x_n=0\] on à \(y_n\to 0\ (C)\) et \(f\) étant continue au sens de Cesàro en \(0\) \[\lim_{n\to\infty}\dfrac{f(y_1)+f(y_2)+\dots+f(y_n)}{n}=0.\] Comme \(f\) satisfait l’équation fonctionelle de Cauchy \[f(x_n)=f\left(\dfrac{y_1+y_2+\dots+y_n}{n}\right)=\dfrac{f(y_1)+f(y_2)+\dots+f(y_n)}{n}\] et finalement \[\lim_nf(x_n)=\lim_n \dfrac{f(y_1)+f(y_2)+\dots+f(y_n)}{n}=0,\] \(f\) est donc continue à l’origine.

    -Il est maintenant facile de conclure : \(f\) est continue à l’origine et vérifie l’équation fonctionelle de Cauchy : elle est donc de la forme \(f(x)=ax+b\).

    La continuité au sens de Cesàro est donc une propriété beaucoup plus contraignante que la continuité usuelle ; ce résultat n’était à priori, absolument pas prévisible. En effet, les relations éventuelles entre continuité ordinaire et continuité au sens de Cesàro ne sont pas évidentes : il y a plus de suites (C)-convergentes, mais d’un autre coté, la (C)-convergence est plus faible que la convergence usuelle ; autrement dit, une fonction continue au sens de Cesàro doit sur beaucoup plus de suites faire quelque chose moins fort que la continuité ordinaire.

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Continuité ordinaire et continuité au sens de Cesàro
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