Soit \(f\,:\ \mathbb R\to\mathbb R\) définie par

\[f(x)=\begin{cases} {1\over q}\qquad\text{ si }x={p\over q}\in\mathbb Q^\star,\ pgcd(p,q)=1,\\ 0\qquad\text{ sinon. } \end{cases}\]

Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb R\setminus\mathbb Q^\star\), discontinue sur \(\mathbb Q^\star\).


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[ID: 2667] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:00] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Une application discontinue sur \(\mathbb Q\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:00
  1. Soit \(x\in \mathbb Q^\star\), il existe \(q\in\mathbb N^\star\) tel que \(f(x)={1\over q}>0\) mais aussi une suite \((x_n)_n\) d’irrationels de limite \(x\) soit

    \[\lim_nf(x_n)=0\ne{1\over q}=f(x)\]

    \(f\) est donc bien discontinue sur \(\mathbb Q^\star\).

  2. Soient maintenant \(x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q,\ \varepsilon>0\) et \(q_0\in\mathbb N^\star\) vérifiant \({1\over q_0}<\varepsilon\). L’ensemble des rationnels \(p\over q\) avec \(q\leq q_0\) tels que \(\vert x-{p\over q}\vert<1\) est fini (la distance entre deux tels éléments est au moins \(\geq {1\over q_0}\)...) il existe donc \(\delta>0\) tel que \(]x-\delta,x+\delta[\) ne possède que des rationnels à dénominateur \(>q_0\) et

    \[\forall \,y\in\mathbb R,\ \vert y-x\vert<\delta\Longrightarrow \vert f(x)-f(y)\vert\leq \vert f(y)\vert \leq\varepsilon.\]

    Remarques : La seconde étape résulte aussi (très bon exercice sur les suites et sous-suites) du fait suivant (en fait le même): .


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