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[ID: 2665] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:00] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Propriétés topologiques de l’ensemble des points de discontinuité d’une application
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:00

1. Supposons \(f\) continue au point \(a\in A\) : pour tout \(\varepsilon>0\) il existe \(\delta>0\) tel que \(f(x)\in B_{\delta_2}(f(a),\varepsilon/2)\) pour tout \(x\in B_{\delta_1}(a,\delta)\cap A\). Par conséquent \(d_2(f(x),f(y))<\varepsilon\) pour tout \(x,y\in B_{\delta_1}(a,\delta)\cap A\) soit \(o_f(a)=0\).

   Réciproquement si \(o_f(a)=0\), alors étant donné \(\varepsilon>0\) il existe \(\delta_\varepsilon>0\) tel que \(0<\delta<\delta_\varepsilon\) implique \(\rm{diam}f(A\cap B_{\delta_1}(a,\delta))<\varepsilon\) i.e. \(d_1(x,a)<\delta\) implique \(d_2(f(a),f(x))\leq \rm{diam}f(A\cap B_{\delta_1}(a,\delta))<\varepsilon\).

   Soient \(B=\{ \,x\in\overline{A}\ :\ o_f(x)\geq \varepsilon\}\) et une suite \((x_n)_n\subset B\) convergente dans \(X\) vers un point adhérent \(a\in\overline B\). Puisque \(B\subset \overline A\) nécéssairement \(a\in\overline A\) et \(o_f(x)\) est donc bien défini. En outre, pour tout \(\delta>0\), il existe \(n\in\mathbb N\) tel que \(B_{\delta_1}(x_n,\delta/2)\subset B_{\delta_1}(a,\delta)\) et par conséquent \[\rm{diam}f(A\cap B_{\delta_1}(a,\delta))\geq\rm{diam} f(A\cap B_{\delta_1}(x_n,\delta/2))\geq o_f(x_n)\geq \varepsilon\] soit \(o_f(a)\geq \varepsilon\) i.e. \(a\in B\) ; \(\{ \,x\in\overline{A}\ :\ o_f(x)\geq \varepsilon\}\) est fermé dans \((X,\delta_1)\).

2. L’ensemble \(C\) des points de continuité de \(f\) est donc l’ensemble \(\{\,x\in X\ :\ o_f(x)=0\}\) soit \[C=\bigcap_{n\geq 1}\{\, x\in X\ :\ o_f(x)<\dfrac{1}{n}\},\] intersection dénombrable d’ouverts d’après la question précédente : \(C\) est bien un \(G_\delta\) et par passage au complémentaire, l’ensemble \(X\setminus C\) des points de discontinuité de \(f\) est bien un \(F_\sigma\).

3. Soit \(A=\cup_{n\geq 1}F_n\) un \(F_\sigma\). Quitte à remplacer \(F_n\) par \(F_1\cup F_2\cup\dots\cup F_n\) on peut supposer que la suite de fermés \((F_n)_n\) est une suite croissante pour l’inclusion. Si \(A=\mathbb R\) la fonction caractéristique de \(\mathbb Q\), \(x\mapsto\mathbf{1}_\mathbb Q(x)\) qui est discontinue sur tout \(\mathbb R\) convient. Si \(A\neq\mathbb R\), considérons la fonction \[g_A(x)=\begin{cases}\displaystyle\sum_{n\in K_x:=\{k\in\mathbb N\ :\ x\in F_k\}}2^{-n}\quad&\text{si}\quad x\in A,\\ \qquad0\quad&\text{si}\quad x\in\mathbb R\setminus A.\end{cases}\] et posons alors \[f_A(x)=g_A(x)\left( \mathbf{1}_\mathbb Q(x)-\dfrac{1}{2}\right).\] \(g_A\) et donc \(f_A\) est bien définie sur \(\mathbb R\) ; nous allons vérifier que l’ensemble des points de discontinuité de \(f_A\) est précisément \(A\).

   -Soit \(x\in\mathring{{A}}\), on peut alors construire deux suites \((x_n)_n\in\mathring{\overline{A}}\cap\mathbb Q,\ (y_n)_n\in\mathring{{A}}\cap(\mathbb R\setminus\mathbb Q)\) toutes deux convergentes vers \(x\). Vu sa définition, \(g_A(x)>0\) si \(x\in A\), et vu celle de \(f_A\) : \(f_A(x_n)>0,\ f_A(y_n)<0\ \forall\,n\in\mathbb N\) si bien que \(f_A\) continue au point \(x\) implique \(f_A(x)=0\) ce qui est absurde puisque \(x\in A\) : \(f_A\) est donc discontinue sur l’intérieur de \(A\).

   On procède identiquement si \(x\in A\cap\partial A\) : \(f_A(x)\neq 0\) mais on peut approcher \(x\) par une suite \((z_n)_n\subset\mathbb R\setminus A\) soit \(f_A(z_n)=0\) d’où la discontinuité.

   \(A=\mathring{{A}}\cup(\partial A\cap A)\) la fonction \(f_A\) est bien discontinue sur \(A\).

   -Sur \(\mathbb R\setminus A\) : \(f_A\equiv 0\). Soit \((x_n)_n\subset\mathbb R\) une suite convergente vers \(x\in\mathbb R\setminus A\), si \((x_k)_k\subset A\) alors pour tout \(n\in\mathbb N\) il existe un entier \(k_n\) tel que \(k\geq k_n\implies x_k\not\in F_n\) (en effet, sinon, il existerai une infinité de \(x_k\) dans au moins un \(F_n\) soit \(x\in \overline F_n=F_n\subset A\ \) ! ). Ainsi : \[\forall\,n\in\mathbb N,\ \exists k_n\in\mathbb N\ :\ k\geq k_n\ \implies\ g_A(x_k)\leq \dfrac{1}{2^{n+1}}+ \dfrac{1}{2^{n+2}}+\dots=\dfrac{1}{2^{n}}\] qui assure que \(\displaystyle\lim_{k\to+\infty}g_A(x_k)=0=g_A(x)\) : \(g_A\) est bien continue au point \(x\) et donc sur \(\mathbb R\setminus A\).

4. Non, par exemple toute fonction définie sur un espace métrique discret est continue.

5. On considère une suite \((f_n)_n\) d’applications continues sur \(X\) et simplement convergente sur \(X\) vers \(f\). Posons pour \(m\in\mathbb N,\ \varepsilon>0\) \[A_\varepsilon(m)=\{ x\in X\ :\ \vert f(x)-f_m(x)\vert\leq \varepsilon\},\quad A(\varepsilon)=\bigcup_{m\geq 1}\mathring{A_\varepsilon(m)}.\] Nous allons vérifier que \(\displaystyle C:=\cap_{n\geq 1}A_{1/n}\) est l’ensemble des points de discontinuité de \(f\) :

   Supposons pour commencer que \(f\) soit continue en un point \(x\in X\). Puisque \(f(x)=\lim_n f_n(x)\), il existe \(m\in\mathbb N\) tel que \[\vert f(x)-f_m(x)\vert\leq \dfrac{\varepsilon}{3}.\] Par continuité de \(f\) et \(f_m\) en \(x\) il existe une boule \(B(x,r)\) telle que \[\forall\,y\in B(x,r)\quad :\quad \vert f(y)-f(x)\vert\leq \dfrac{\varepsilon}{3}\quad\text{et}\quad \vert f_m(y)-f_m(x)\vert\leq \dfrac{\varepsilon}{3}.\] En regroupant ces trois inégalités il vient \[\vert f(y)-f_m(y)\vert\leq \varepsilon,\quad\forall \,y\in B(x,r),\] autrement dit, on a l’inclusion \(({A_\varepsilon(m)})^\circ\subset A_\varepsilon\) ; \(\varepsilon\) etant arbitraire : \(x\in C\).

   Réciproquement, soit \(x\in C=\cap_{n\geq 1}A_{1/n}\) ; pour tout \(\varepsilon>0\), il existe un entier \(m\) tel que \(x\in C:=\cap_{m\geq 1}({A}_m(\varepsilon/3))^\circ\). il existe donc une boule \(B(x,r)\) telle que \[\vert f(y)-f_m(y)\vert\leq \varepsilon,\quad\forall \,y\in B(x,r),\] avec l’inégalité triangulaire et la continuité de \(f_m\), on déduit facilement la continuité de \(f\) au point \(x\).

   -Il nous reste à montrer que \(X\setminus C\) est maigre. Pour cela considérons pour \(m\in\mathbb N\) \[F_m(\varepsilon)=\{ x\in X\ :\ \vert f_n(x)-f_{m+k}(x)\vert\leq\varepsilon\}.\] Les applications \(f_n\) étant continues, \(F_m(\varepsilon)\) est fermé ; et par convergence simple vers \(f\) sur \(X\) nous avons \[X=\cup_{m\geq 1}F_m(\varepsilon) \quad\text{et}\quad F_m(\varepsilon)\subset A_m(\varepsilon).\] par conséquent \[\bigcup_{m\geq 1}({F_m}(\varepsilon))^\circ\subset A_\varepsilon.\] Alors \(X\setminus\bigcup_{m\geq 1}(F_m(\varepsilon))^\circ\) est maigre : en effet, visiblement fermé ; il est aussi d’intérieur vide, ceci résulte du fait que pour tout \(F\subset X\) l’ensemble \(F\setminus\mathring{F}\) est d’intérieur vide et de l’inclusion \[X\setminus\bigcup_{m\geq 1}(F_m(\varepsilon))^\circ\subset\bigcup_{m\geq 1} F_m(\varepsilon)\setminus (F_m(\varepsilon))^\circ.\] Maintenant, il faut remarquer que comme \(X\setminus A_\varepsilon \subset X\setminus\bigcup_{m\geq 1}(F_m(\varepsilon))^\circ\), l’ensemble \(X\setminus A_\varepsilon\) est aussi de première catégorie (maigre). Il reste enfin (!!) à remarquer l’inclusion \[X\setminus C=X\setminus\bigcap_{n\geq 1}A(1/n)=\bigcup_{n\geq 1}(X\setminus A_{1/n})\] qui nous permet d’affirmer que \(X\setminus C\) est aussi maigre.

   Avec les notations de la question précédente nous avons \[X\setminus A(1/k)\subset X\setminus\bigcup_{m\geq 1}(F_m(1/k))^\circ \subset \bigcup_{m\geq 1}F_m(1/k)\setminus(F_m(1/k))^\circ\] si bien que \[\bigcup_{k\geq 1}X\setminus A(1/k)\subset \bigcup_{k\geq 1} \bigcup_{m\geq 1}F_m(1/k)\setminus(F_m(1/k))^\circ.\] \(X\setminus C\) est inclu dans une réunion dénombrable d’ensembles maigre : \(C\) contient donc une intersection d’ouverts denses, par le théorème de Baire, \(C\) est dense dans \(X\).

6. Si une telle fonction existe, \(\mathbb R\setminus \mathbb Q\) serait un \(F_\sigma\) d’intérieur vide, donc maigre et par suite \(\mathbb R=(\mathbb Q)\cup(\mathbb R\setminus \mathbb Q)\) est lui aussi maigre comme réunion de deux ensembles maigres ce qui est absurde au vu du théorème de Baire.

   Remarque : Il n’y a par contre aucune obstruction à l’existence d’une fonction \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R\) dont l’ensemble de discontinuité est \(\mathbb Q\). \(\mathbb Q\) étant un \(F_\sigma\) un tel objet est construit dans la question

7. et on trouvera dans l’exercice ci-dessous un autre exemple beaucoup plus classique.