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[ID: 2661] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:00] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Continuité
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:00

Supposons qu’une telle fonction existe. Alors, pour tout \(x\in\mathbb R\) :

\[\exp(f(e^{ix}))=e^{ix}\quad \Longrightarrow\quad g(x)=\exp(f(e^{ix})-ix)\equiv 1,\]

mais vu les hypothèses sur \(f\) et les propriétés de l’exponentielle complexe \[g(\mathbb R)\subset 2i\pi\mathbb Z,\] la partie connexe \(g(\mathbb R)\) (\(g\) est continue) est inclue dans l’ensemble discret \(2i\pi\mathbb Z\) : \(g\) est donc constante

\[\exists \ N\in\mathbb N\ :\ g\equiv 2iN\pi\]

et par suite l’application de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb C\) définie par

\[h(x):=f(e^{ix})=ix+2iN\pi\]

est clairement non bornée. Mais tout ceci est absurde puisque \[h(\mathbb R)=f(\mathbb U):=\{z\in\mathbb C\ :\ \vert z\vert=1\}\] est compact (et donc borné) comme image continue d’un compact. Contradiction.

le logarithme népérien \(\log\ :\ \mathbb R^\star_+\rightarrow\mathbb R\) n’admet aucun prolongement continu à \(\mathbb C^\star\). On sait toutefois qu’en ôtant à \(\mathbb C\) une demi-droite issue de l’origine un tel prolongement existe (et même une infinité)