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[ID: 2659] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:00] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Continuité, topologie
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:00

Soit donc \(F\) un fermé de \(\mathbb R\) et \(b\in\overline{f(F)}\) il s’agit donc de montrer que \(b\in f(F)\) i.e. qu’il existe \(a\in F\) tel que \(f(a)=b\).

Il existe une suite \((b_n)_n\) dans \(f(F)\) (i.e. une suite \((a_n)_n\) dans \(F\)) telle que \(\lim_nb_n=\lim_nf(a_n)=b\), il faut se garder de croire que la suite \((a_n)_n\) est nécessairement convergente, (ce qui nous permettrait de conclure sans utiliser l’hypothèse sur \(f\)) mais on va voir qu’elle admet une sous-suite convergente. Considérons le compact \(K=\{f(a_n),\ n\in\mathbb N\}\cup\{ b\}\), \(f^{-1}(K)\) est donc une partie compacte contenant la suite \((a_n)_n\) : on peut donc extraire de \((a_n)_n\) une sous-suite \((a_{n_k})_k\) convergente de limite \(a\). Par construction la suite \((a_{n_k})_k\) est incluse dans \(F\) fermé : \(a\in F\). \(f\) étant continue

\[f(a)=\lim_k f(a_{n_k})=\lim_k b_{n_k}=b\] C.Q.F.D.