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[ID: 2657] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:00] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Sur la continuité de l’application réciproque, suite
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:00

\(\mathbb Z\) et \(\mathbb Q\) étant tous deux dénombrables, une telle bijection existe. Soit \(a\in\mathbb Z\), pour tout \(\varepsilon>0\) si \(0<\eta<1\) : \(\left(z\in\mathbb Z\ \&\ \vert z-a\vert<\eta\right)\Longrightarrow z=a\) et par suite \(\vert f(z)-f(a)\vert=0<\varepsilon\). \(f\) est donc continue sur \(\mathbb Z\).

Par contre si \(b\in\mathbb Q\) et \(0<\varepsilon<1\) il existe pour tout \(\eta>0\) un rationnnel \(c\in\mathbb Q\,\bigcap \,\left(]a-\eta,a+\eta[\setminus\{a\}\right)\). alors \(f^{-1}\) étant injective \(\vert f^{-1}(a)-f^{-1}(c)\vert\geq 1>\varepsilon,\) i.e. \(f^{-1}\) est discontinue au point \(a\).

Remarque : C’est cette fois-ci la non-connexité de l’intervalle de départ (ici \(\mathbb Z\)) qui rend possible la non-continuité de l’application réciproque.