Barre utilisateur

[ID: 2653] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:00] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Sur les points de discontinuité d’une bijection \(f\ :\ \mathbb R\to\mathbb R_+^\star\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:00

1. Il faut commencer par remarquer que \(f\) n’est pas continue sur \(\mathbb R\). En effet, \(f\) continue et bijective sur \(\mathbb R\) sera strictement monotone, par exemple strictement croissante ; dans ce cas en considérant \(x_0\in\mathbb R\) tel que \(f(x_0)=0\) on aurait \(f(x)>0\) pour \(x>x_0\) et \(f(x)<0\) pour \(x<0\) ce qui est bien sûr absurde puisque \(f(\mathbb R)=\mathbb R_+^\star\). \(f\) n’est donc pas continue sur \(\mathbb R\).

2. Supposons maintenant que \(f\) ne possède qu’un nombre fini de points de discontinuité \(x_1<x_2<\dots<x_n\). \(f\) est alors strictement monotone sur chaque intervalle \(]-\infty,x_1[,\,]x_1,x_2[,\,\dots,]x_n,+\infty[\) et par le théorème des valeurs intermédiaires \(f(]-\infty,x_1[),\,f(]x_1,x_2[),\,\dots,f(]x_n,+\infty[)\) sont des intervalles ouverts deux à deux disjoints, donc

   \[\mathbb R_+^\star\setminus\left(f(]-\infty,x_1[)\cup\bigcup_{i=1}^{n-1}f(]x_i,x_{i+1}[) \cup f(]x_n,+\infty[)\right)\]

   possède au moins \(n+1\) éléments mais de l’autre côté

   \[\mathbb R\setminus\left(]-\infty,x_1[\cup\bigcup_{i=1}^{n-1}]x_i,x_ {i+1}[\cup]x_n,+\infty[\right)=\{x_1,\dots,x_n\}\]

   \(f\) ne peut donc être bijective.