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[ID: 2649] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:00] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Autour des valeurs intermédiaires
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:00

Supposons qu’une telle fonction existe et soient \(x_1\ne x_2\) tels que \(f(x_1)=f(x_2)=b\). Alors pour tout \(x\in\mathbb R\setminus\{x_1,x_2\}, f(x)\ne b\) et par suite on a ou bien \(f(x)>b\) pour tout \(x\in]x_1,x_2[\) ou bien \(f(x)<b\) pour tout \(x\in]x_1,x_2[\). Dans le premier cas, il existe un unique \(x_0\in]x_1,x_2[\) tel que \(c=f(x_0)=\max\{f(x),\,x\in[x_1,x_2]\}\). En effet, sinon \(f\) va prendre sur \([x_1,x_2]\) au moins trois fois certaines valeurs (faire un dessin si le max est atteint en deux points distincts, c’est le TVI). Ainsi il doit exister exactement un réel \(x'_0\) en dehors de \([x_1,x_2]\) tel que \(f(x'_0)=f(x_0)=c>b\). Mais alors, toujours par le théorème des valeurs intermédiaires tous les réels de \(]b,c[\) seront atteints au moins trois fois. Contradiction. On procède de manière analogue si \(f<b\) sur \(]x_1,x_2[\).

Remarques :  -Voir aussi [boas], pages 87-90.

-Il existe par contre des fonctions prenant exactement trois fois chaque valeurs, il suffit par exemple si

\[g(x)=\begin{cases} x+2 &\text{ si } -3\leq x\leq -1\\ -x &\text{ si } -1<x<1\\ x+2 &\text{ si } 1\leq x \leq 3\end{cases}\]

de considérer la fonction \(f\) définie par

\[f(x)=g(x-6n)+2n\text{ si } 6n-3\leq x\leq 6n+3\]

Pour vous en convaincre représentez graphiquement \(f\), vous observez une sorte de dent de scie inclinée qui semble visiblement répondre au problème...