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[ID: 2647] [Date de publication: 9 novembre 2022 15:00] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Continuité et composition
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:00

Soit donc \(y\in g(I)\), et supposons \(f\) discontinue en \(y\) : il existe \(\varepsilon>0\) et une suite \((y_n)_n\subset g(I)\) tels que

\[\lim_ny_n=y \quad \text{et}\quad \vert f(y_n)-f(y)\vert>\varepsilon, \quad \forall\,n\in\mathbb N.{(\text{$\star$})}\]

Il existe d’autre part \(\alpha\in I\) et \((x_n)_n\subset I\) vérifiant

\[g(\alpha)=y\quad \& \quad g(x_n)=y_n\]

(il faut ici se garder de croire que la suite \((x_n)_n\) est nécessairement convergente ou même admet une sous-suite convergente, mais les pré-images \(g^{-1}(\{y_n\})\) nous laissent suffisament de place pour construire une nouvelle suite elle convergente et ceci par l’intervention judicieuse du théorème des valeurs intermédiaires).

Quitte à considérer une sous-suite supposons \((y_n)_n\) monotone et même décroissante (même raisonnement si la suite est croissante). Nous avons donc dans \(g(I)\)

\[g(\alpha)=y\leq y_{n+1}\leq y_n\leq y_0=g(x_0),\quad\forall\,n\in\mathbb N\]

et dans \(I\)

\[\alpha\leq x_0\]

(on peut bien entendu avoir l’inégalité contraire, mais le raisonnement est le même) Les deux formules précédentes et le théorème des valeurs intermédiaires assurent pour tout \(n\in\mathbb N\) l’existence d’un réel \(x'_n\in [\alpha, x_0]\) vérifiant \(g(x'_n)=g(x_n)=y_n\). De cette nouvelle suite inclue dans le compact \([\alpha,x_0]\) nous sommes donc assurés de pouvoir extraire un sous-suite convergente \((x_{n_k})_k\) de limite \(l\in[\alpha,x_0]\subset I\).

Par continuité de \(g\) sur \(I\)

\[\lim_k g(x'_{n_k})=g(l)\]

mais d’un autre côté, nous avons aussi

\[\lim_k g(x'_{n_k})=\lim_k g(x_{n_k})=\lim_k y_{n_k}=y=g(\alpha)\]

ainsi \[g(l)=g(\alpha).\]

Et enfin, par continuité de \(f\circ g\) sur \(I\), donc au point \(l\) :

\[\lim_k f(y_{n_k})=\lim_k f\circ g(x_{n_k})=\lim_k f\circ g(x'_{n_k}) =f\circ g(l)=f\circ g(\alpha)=f(y).\]

Il suffit maintenant de remarquer que les deux extrémités de cette formule contredisent (\(\star\)), d’où le résultat.

par contre si \(f\circ g\) et \(f\) sont continues \(g\) n’a aucune raison de l’être : il suffit par exemple de considérer \[f(x)=x^2\quad\text{et}\quad g(x)=\begin{cases} \ 1\ &\text{ si }x\in\mathbb Q,\\ -1&\text { sinon.}\end{cases}.\]