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[ID: 2643] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:59] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

L’équation fonctionnelle \(f(\sqrt{x^2+y^2})=f(x)f(y)\) dans \(\mathscr{C}^0(\mathbb R)\).
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 15:00

-\(f\) n’étant pas identiquement nulle, il existe \(a\in\mathbb R\) tel que \(f(a)\neq 0\) et comme \[f(x)f(a)=f(\sqrt{x^2+a^2})=f(-x)f(a),\] il en résulte que \[f(x)=f(-x)=f(\vert x\vert),\quad x\in\mathbb R,\] et il est donc suffisant d’étudier \(f\) sur \(\mathbb R_+\).

-Montrons par récurrence sur \(n\in\mathbb N^\star\) que \[f(x\sqrt{n})=f(x)^n,\quad \forall\,x\in\mathbb R,\ n\in\mathbb N^\star.\] L’assertion est clairement vraie pour \(n=1\), si on la suppose vraie au rang \(n\geq 1\), alors \[f(x\sqrt{n+1})=f(\vert x\vert\sqrt{n+1})=f(\sqrt{(x\sqrt{n})^2+x^2})=f(x\sqrt{n})f(x)=f(x)^nf(x)=f(x)^{n+1}\] d’où la propriété au rang \(n+1\).

-On a alors pour \(p,q\in\mathbb Q^\star\) \[f(p)=f(\vert p\vert)=f(1\cdot\sqrt{p^2})=f(1)^{p^2},\] mais aussi \[f(1)^{p^2}=f(\vert p\vert)=f\left(\dfrac{p}{q}\sqrt{q^2}\right)=f\left(\dfrac{p}{q}\right)^{q^2},\] soit finalement \[f\left(\dfrac{p}{q}\right) =f(1)^{p^2/q^2}\quad\textbf{si}\ \ f(1)>0.\] La formule (\(\star\)) est vérifiée sur \(\mathbb Q\) et donc sur \(\mathbb R\) (par densité de \(\mathbb Q\) dans \(\mathbb R\) et continuité de \(f\)) lorsque \(f(1)>0\). Il reste donc à examiner les autres cas :

\(\rightsquigarrow\) Si \(f(1)=0\), alors \(f\equiv 0\) sur \(\mathbb Q\) puis sur \(\mathbb R\) et ce cas est exclu.

\(\rightsquigarrow\) Supposons enfin \(f(1)<0\), la formule établie plus haut donne pour \(p,q\in\mathbb Q^\star\) avec \(p\) pair et \(q\) impair \[f\left(\dfrac{p}{q}\right)^{q^2}=f(1)^{p^2}\] qui implique \(f(p/q)>0\) puis (toujours par densité-continuité) \(f\geq 0\) et \(f(1)\geq 0\) ce qui est contradictoire.

Remarque : On peut aussi vérifier aisément que l’application \(g\) définie pour \(x\in\mathbb R_+\) (si cela à bien un sens) par \(g(x)=\log f(\sqrt{x})\) est solution de l’équation fonctionnelle de Cauchy \(g(x+y)=g(x)+g(y)\) étudiée dans l’exercice précédent. Étant comme \(f\) continue nous aurons \(g(x)=xg(1)\) puis \(f(x)=f(1)^{x^2}\). Bien entendu, pour que cet argument tienne parfaitement la route il faut s’assurer que \(g\) soit bien définie sur \(\mathbb R_+\) i.e. \(f(\sqrt{x})>0,\ \forall\,x\in\mathbb R_+\) ce que nous avons effectivement vérifié dans l’autre démonstration.