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[ID: 2641] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:59] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Les fonctions mid-convexes
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:59

1. Toute application convexe est bien entendu mid-convexe1 ; pour la réciproque, classique mais plus délicate, on propose deux solutions :

   -Première solution : C’est la plus classique, mais aussi peut être la plus délicate à présenter pour un oral, elle consiste à prouver (\(\star\)) sur une partie dense de \(I\) puis de la prolonger à tout l’intervalle par continuité. On procède par étapes en démontrant successivement \[\begin{aligned} &(1)\qquad\qquad f\left( \dfrac{1}{2^n}\sum_{j=1}^{2^n}x_j\right) \leq \dfrac{1}{2^n}\sum_{j=1}^{2^n}f(x_j),&&\quad \forall\,n\in\mathbb N^\star,\ x_j\in I.\\ &(2)\qquad\qquad f\left( \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}x_j\right) \leq \dfrac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}f(x_j),&&\quad \forall\,n\in\mathbb N^\star,\ x_j\in I.\\ &(3)\qquad\qquad f\left( \dfrac{m}{2^n}x+\left( 1-\dfrac{m}{2^n}\right) y\right) \leq \dfrac{m}{2^n}f(x)+\left( 1-\dfrac{m}{2^n}\right)f(y),&&\quad \forall\,m,n\in\mathbb N^\star,\ x,y\in I.\end{aligned}\] Par densité2 de \(\{ \frac{m}{2^n},\ m,n\in\mathbb N^\star\}\) dans \([0,1]\), la continuité de \(f\) sur \(I\) permet d’étendre \((3)\) à tout \(p\in[0,1]\) i.e. \[f(px+(1-p)y)\leq pf(x)+(1-p)f(y),\qquad\forall\,x,y\in I,\ p\in[0,1].\] \(f\) est bien convexe sur \(I\).

   -Seconde solution : Elle (voir [fgnan1]) repose sur le théorème des valeurs intermédiaires. Si \(f\) n’est pas convexe il existe \(a<c<b\) tels que le point \((c,f(c))\) soit au dessus de la corde reliant les points \((a,f(a))\) et \((b,f(b))\) ; et quitte à retrancher à \(f\) la fonction affine (donc convexe donc ne modifiant pas la quantité \(f\left( \frac{x+y}{2}\right) -\frac{1}{2}f(x)-\frac{1}{2}f(y)\)....) \(x\mapsto f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\), on peut supposer que \(f(a)=f(b)=0\) et dans ce cas \(f(c)>0\).

   Alors, l’ensemble \(\{\, x\in[a,c]\ :\ f(x)=0\}\) est non vide (il contient \(a\)) majoré et fermé (\(f\) est continue) : il admet donc un plus grand élément \(u\) qui est strictement plus petit que \(c\) car \(f(c)>0\). Par le théorème des valeurs intermédiaires et la définition de \(u\), \(f\) est strictement positive sur \(]u,c]\). De la même manière, on démontre l’existence d’un point \(v\in]c,b[\) tel que \(f\) soit strictement positive sur \([c,v[\). Mais alors \(f(\frac{u+v}{2})>0\) alors que \(f(u)=f(v)=0\) ce qui exclu la réalisation de (\(\star\)) sur l’intervalle.

2. Avec l’axiome du choix, on peut construire des fonctions mid-convexes non convexes, ce sont des objets pathologiques nulle part continus donc le graphe est dense dans \(\mathbb R^2\), nous les avons deja rencontrés (et construits) dans l’exercice précédent, question

3. .

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1. 1  Ou encore J-convexe en hommage à J.L.W.V.Jensen qui introduit cette notion en 1906.
2. 2  La densité est immédiate : pour tout intervalle \(]a,b[\subset[0,1]\) considérer \(n\geq 1\) tel que \(b-a>\frac{1}{2^n}\), alors, par le principe des tiroirs, un multiple de \(\frac{1}{2^n}\) se trouve forcément dans \(]a,b[\).