Soit \(f\ :\ \rbrack 0,+\infty\lbrack\) une application continue telle que \[\forall\,x>0,\quad\lim_{n\to +\infty}f\left( \dfrac{x}{n}\right) =0.\] A-t-on \[\quad\lim_{x\to 0_+}f\left( x\right) =0\quad ?\]


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[ID: 2637] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:59] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Baireries
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:59

Définissons pour \(\varepsilon>0\) et tout entier \(k\in\mathbb N\) \[F_k=\left\lbrace 0\right\rbrace \cup\bigcap_{n\geq k}\left\lbrace x>0\ :\ \left\vert f\left( \dfrac{x}{n}\right)\right\vert \leq\varepsilon \right\rbrace.\] \(f\) étant continue, chaque ensemble \(F_k\) est fermé et vu les hypothèses sur \(f\) \[\bigcup_{k\geq 1}F_k=\lbrack 0,+\infty\rbrack.\] On peut donc appliquer le théorème de Baire : un au moins des \(F_k\), disons \(F_{k_0}\) possède un intérieur non vide. Il existe donc \(a>0,\ \delta>0, k_0\in\mathbb N\) tels que \[\rbrack a-\delta,a+\delta\lbrack\subset F_{k_0}\] quitte à diminuer \(\delta\) on peut toujours supposer que \(a\leq \frac{\delta}{k_0}\).

Soit alors \(0<x<\delta\) et \(n=\left[ \frac{x}{a}\right]\), alors \(a-\delta\leq a-x\leq nx<a<a+\delta\) et \(n\geq k\) si bien que \(nx\in F_{k_0}\) qui implique \[\vert f(x)\vert=\left\vert f\left( \dfrac{nx}{n}\right) \right\vert\leq \varepsilon,\]

En résumé, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(\delta>0\) tel que \(0<x<\delta\) implique \(\vert f(x)\vert\leq \varepsilon\) i.e. \[\quad\lim_{x\to 0_+}f\left( x\right) =0,\] et la réponse est oui.


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