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[ID: 2635] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:59] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Propriété des valeurs intermédiaires et monotonie impliquent la continuité
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:59

Sans perdre de généralité supposons \(f\) strictement croissante. Soit \(c\in]a,b[\), on a donc : \[\sup_{a\leq x<c}f(x):=f(c_-)\leq f(c)\leq f(c_+)=\inf_{c<x\leq b}f(x).\] Supposons un instant que \(f(c)<f(c_+)\). Par définition de \(f(c_+)\) il existe une suite \((x_n)_n\subset ]c,b]\) qui vérifie \[\begin{cases} \lim_{n\to+\infty}x_n=c,\\ \lim_{n\to+\infty}f(x_n)=f(c_+). \end{cases}\] \(f\) étant croissante \[f(x_n)\geq f(c_+)>f(c),\quad\forall\,n\in\mathbb N\] mais la propriété des valeurs intermédiaires nous assure qu’il existe \[d\in ]c,b[\ \ \text{tel que}\ \ f(d)=f(c_+).\] de sorte que \[\inf_{c<x<d}f(x)\geq\inf_{c<x\leq b}f(x)=f(d).{(\text{$\star$})}\] D’autre part, avec la stricte monotonie \[\inf_{c<x<d}f(x)<f(d),{(\text{$\star$})}\] les formules (\(\star\)) et (\(\star\)) sont contradictoires et par conséquent \(f(c_+)=f(c)\). On procède de même pour \(f(c_-)\) et les extrémités \(a,b\) : \(f\) est bien continue.