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[ID: 2633] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:59] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Sous-algèbres de dimension finie de \(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:59

Il suffit de remarquer que pour toute application non constante \(f\in\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\), la famille \((f^n)_n\) est libre. En effet, une relation de liaison \(\lambda_0+\lambda_1 f+\dots+\lambda_d f^d=0\) assure que le polynôme \(P= \lambda_0+\lambda_1 X+\dots+\lambda_d X^d\) s’annule sur l’image de \(f\) qui est un intervalle non réduit à un point d’après le théorème des valeurs intermédiaires et les hypothèses sur \(f\) : \(P\) est donc le polynôme nul. La seule sous-algèbre de dimension finie dans \(\mathscr C^0(\mathbb R,\mathbb R)\) est celle des fonctions constantes, elle est de dimension \(1\).