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[ID: 2631] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:59] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Automorphisme d’algèbre de \(\mathscr C(\mathbb R^d,\mathbb R)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:59

Comme dans l’exercice précédent, les fonctions inversible de \(\mathscr C(\mathbb R^d)\) sont celle qui ne s’annulent pas sur \(K\) et \(\phi\) unitaire assure que \(f\) inversible équivaut à \(\phi(f)\) où \(\phi(f^{-1})\) inversible.

Notons \(\phi\) un tel morphisme et soit \(f\in\mathscr C(\mathbb R^d)\). Il existe \(x_0\in K\) tel que \(\vert f(x_0)\vert=\sup_{x\in K}\vert f(x)\vert=\Vert f\Vert_\infty\) et quitte à considérer \(-f\) on peut supposer que \(\Vert f\Vert_\infty=f(x_0)\). L’application \(g:=f-f(x_0){\bf{1}}\) (\({\bf{1}}\) est la fonction constante égale à \(1\) sur \(K\)) est par conséquent non inversible dans \(\mathscr C(\mathbb R^d)\), il en donc de même de son image \(\phi(g)=\phi(f)-f(x_0){\bf{1}}\). Ainsi, il existe \(x_1\in K\) tel que \(\phi(g)(x_1)=0\) i.e. \(\phi(f)(x_1)=f(x_0)\) qui implique \(\Vert \phi(f)\Vert_\infty\geq \Vert f\Vert_\infty\). L’inégalité inverse s’obtient de la même manière en considérant cette fois \(\phi^{-1}\).