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[ID: 2629] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:59] [Catégorie(s): Continuité ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Les algèbres \(\mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\) et \(\mathscr C^1([0,1],\mathbb R)\) sont-elles isomorphes ?
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:59

Supposons qu’il existe un tel isomorphisme : \[\phi : \mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\rightarrow \mathscr C^1([0,1],\mathbb R),\]

et observons que les éléments inversibles des algèbres \(\mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\) et \(\mathscr C^1([0,1],\mathbb R)\) sont les fonctions qui ne s’annulent pas sur \([0,1]\).

Désignons par \(1\) la fonction constante égale à \(1\), on a \[\phi(1)=\phi(1\cdot 1)=\phi(1)^2\] l’application continue \(\phi(1)\) vérifie donc \(\phi(1)^2-\phi(1)=0\), par le théorème des valeurs intermédiaires on a \(\phi(1)=1\) ou \(\phi(1)=0\) et cette dernière possibilité est à exclure puisque \(\phi\) est un isomorphime : \(\phi(1)=1\). Il en résulte immédiatement que la restriction de \(\phi\) aux applications constantes est l’identité. Il en résulte aussi que \(f\in \mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\) est inversible si et seulement si \(\phi(f)\) est inversible dans \(\mathscr C^1([0,1],\mathbb R)\).

On note \(e\) la fonction \(e:t\mapsto t\). Soit \(f\in\mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\) définie par \(\phi(f)=e\).

La fonction \(f\) ne prend que des valeurs positives. En effet si \(\alpha<0\) est une valeur prise par \(f\) alors \(t\mapsto f(t)-\alpha\) n’est pas inversible dans \(\mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\) et par conséquent son image par \(\phi\) non plus. Mais \(t\mapsto t-\alpha\) est inversible dans \(\mathscr C^1([0,1],\mathbb R)\), donc \(f\geq 0\) et on peut donc considérer \(g=\sqrt{f}\in\mathscr C^0([0,1],\mathbb R)\) qui doit vérifier \[\forall t\in[0,1],\ \phi(g)^2(t)=t\quad \text{et}\quad \phi(g)\in\mathscr C^1([0,1],\mathbb R),\] soit \(\phi(g)(t)=\sqrt{t}\in\mathscr C^1([0,1],\mathbb R)\) ce qui est absurde. D’où la contradiction.