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[ID: 2627] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Trois preuves du théorème d’approximation de Weierstrass trigonométrique
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43

1. Soient \(f\in\mathscr C_{2\pi}\) et \(\varepsilon>0\). Par continuité uniforme de \(f\) sur \(\mathbb R\), il existe \(\delta>0\) tel que \(\vert x-y\vert<\delta\) implique \(\vert f(x)-f(y)\vert\leq \varepsilon\). Pour \(n\in\mathbb N^\star\), considérons la subdivision \(\sigma_n\) de pâs constant \(2\pi/n\) de l’intervalle \([0,2\pi]\) ; alors \(2\pi/n\leq \delta\) assure que l’application \(2\pi\)-périodique continue \(f_n\), égale à \(f\) en chaque point de la subdivision et affine par morceaux sur \([0,2\pi]\) vérifie \(\Vert f-f_n\Vert_\infty\leq \varepsilon\). En outre, chaque application \(f_n\) est continue sur \(\mathbb R\) et de classe \(\mathscr C^1\) par morceaux : la suite des sommes partielles de Fourier \((S_k(f_n))_k\) est donc (avec le théorème de Dirichlet) une suite (de polynômes trigonométriques) qui converge uniformément vers \(f_n\). Comme \[\Vert f-S_k(f_n)\Vert_\infty\leq \Vert f-f_n\Vert_\infty+\Vert f_n-S_k(f_n)\Vert_\infty\] le résultat suit.

2. Les sommes partielle de Fourier de toute application \(f\in\mathscr C_{2\pi}\) convergent au sens de Césaro uniformément sur \(\mathbb R\) vers \(f\) (c’est le théorème de Fejèr). D’où le résultat.

3. -a) On vérifie sans peine la continuité et la \(2\pi\)-périodicité des applications \(f_n\) qui implique que \((f\star u_n)(x)=(u_n\star f)(x)\) sur \(\mathbb R\). Les applications \(u_n\) étant visiblement des polynômes trigonométriques de degré \(n\), nous pouvons écrire \[\begin{aligned}f_n(x)&=\int_0^{2\pi}f(x-t)u_n(t)dt=\int_0^{2\pi}f(t)u_n(x-t)dt =\int_0^{2\pi}f(t)\sum_{k=-n}^n \alpha_k e^{ik(x-t)}dt\\ &=\sum_{k=-n}^n\alpha_k e^{ikx}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-ikt}dt=\sum_{k=-n}^n\alpha_k 2\pi c_k(f) e^{ikx} \end{aligned}\]

   -b) Soit \(x\in\mathbb R\), comme \(\int_{-\pi}^\pi u_n(t)dt=1\), on peut écrire si \(0<\delta<\pi\) \[\begin{aligned}\vert f_n(x)-f(x)\vert &=\left\vert\int_{-\pi}^{\pi}(f(x-t)-f(x))u_n(t)dt\right\vert\\ &\leq \int_{-\delta}^\delta\vert f(x-t)-f(x)\vert u_n(t)dt+\left(\int_{-\pi}^{-\delta}+\int_{\delta}^\pi \right)2\Vert f\Vert_\infty u_n(t)dt\qquad\quad{(\text{$\star$})} \end{aligned}\] Soit \(\varepsilon>0\) par continuité uniforme de \(f\) sur \(\mathbb R\), il existe \(\delta\in]0,\pi[\) tel que \(\vert x-y\vert<\delta\) implique \(\vert f(x)-f(y)\vert\leq \varepsilon\). Avec un tel choix comme \(u_n\) est paire et d’intégrale égale à \(1\) sur \([0,2\pi]\) \[\begin{aligned} \vert f_n(x)-f(x)\vert &\leq \varepsilon\int_{-\delta}^\delta u_n(t)dt +\left(\int_{-\pi}^{-\delta}+\int_{\delta}^\pi \right)2\Vert f\Vert_\infty u_n(t)dt \\ &\leq \varepsilon\int_{-\pi}^\pi u_n(t)dt +4\Vert f\Vert_\infty\int_\delta^\pi u_n(t)dt =\varepsilon+4\Vert f\Vert_\infty\int_\delta^\pi u_n(t)dt\qquad\qquad{(\text{$\star$})} \end{aligned}\] Comme le cosinus, \(u_n\) décroit sur \([\delta,\pi]\) et donc \[\int_\delta^\pi u_n(t)dt\leq \pi c_n (1+\cos(\delta))^n,\] il ne reste plus qu’a majorer convenablement \(c_n\) i.e. minorer \(c_n^{-1}\) : \[\begin{aligned}c_n^{-1}=2\int_0^\pi (1+\cos(t))^n dt&\geq 2\int_0^\pi(1+\cos(t))^n\sin(t)dt\\ &=2\left[ -\dfrac{(1+\cos(t))^{n+1}}{n+1}\right]_0^\pi=\dfrac{2^{n+2}}{n+1}. \end{aligned}\] Soit finalement pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(\delta\in ]0,\pi[\) tel que pour tout \(n\in\mathbb N\) et \(x\in\mathbb R\) \[\vert f_n(x)-f(x)\vert\leq \varepsilon+\pi\Vert f\Vert_\infty\left( \dfrac{1+\cos(\delta)}{2}\right)^n(n+1)\leq 2\varepsilon\quad\text{si}\ n\geq n_\varepsilon\] (car \((1+\cos(\delta))/2\in]0,1[\) assure que le second terme tends vers \(0\) avec \(n\)). En resumé nous avons \[\forall\,\varepsilon,\ \exists\,n_\varepsilon\ :\ n\geq n_\varepsilon \quad\sup_{x\in\mathbb R}\vert f_n(x)-f(x)\vert\leq \varepsilon.\] La suite de polynômes trigonométriques \((f_n)_n\) est donc bien uniformément convergente sur \(\mathbb R\) vers \(f\)