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[ID: 2625] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

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Applications linéaires continues et compacité
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43

\(\mathscr L(\mathbb R^d)\) est de dimension finie (\(d^2\)), il est donc suffisant de montrer que \(L\) est fermé bornée dans \(\mathscr L(\mathbb R^d)\).

-\(L\) est borné : \(B^f(0,a)\subset K\) car \(K\) est fermé ; comme \(K\) est aussi borné, il existe \(b>0\) tel que \(K\subset B^f(0,b)\). Par conséquent \[\forall\,x\in\mathbb R^d\setminus\{0\}\ :\quad u\left( a\dfrac{x}{\Vert x\Vert}\right) \in K\subset B^f(0,b)\] où encore \[\left( \forall\,x\in\mathbb R^d\setminus\{0\}\ :\quad \Vert u(x)\Vert\leq \dfrac{a}{b}\Vert x\Vert \right) \Rightarrow\left( \vert\vert\vert u\vert\vert\vert \leq \dfrac{a}{b}\right).\] i.e. \(\displaystyle L\subset B^f_{L(\mathbb R^d)}(0,\dfrac{a}{b})\).

-\(L\) est fermé : Soit \((u_n)_n\) une suite dans \(L\) qui converge vers \(u\in L(\mathbb R^d)\). Pour tout \(x\in K\) et tout \(n\in\mathbb N\), \(u_n(x)\in K\) ; par conséquent \(u(x)=\lim_n u_n(x)\in K\) puisque \(K\) est fermé : \(u\in L\).

-Si \(K\) est d’intérieur vide, la proprièté peut être fausse : par exemple, si \(K\subset H=\mathbb R^{d-1}\times\{0\}\) (hyperplan de \(\mathbb R^d\)) toute affinité d’hyperplan fixe \(H\) et de vecteur directeur \(e_d=(0,\dots,0,1)\) conserve \(K\) et est donc dans \(L\), mais l’ensemble de ces affinités n’est visiblement pas bornée (considérer \(u_n\) definie par \(u_n(e_i)=e_i,\ (1\leq i\leq d-1)\) et \(u_n(e_d)=ne_d\)).