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[ID: 2623] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Sur la norme d’une forme linéaire
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43

On peut commencer par remarquer que \(\psi(e)\neq 0\) et \(\ker(\psi)\) fermé assurent que \(\rm{dist}(e,\ker(\psi))>0\).

Pour \(x\in\ker(\psi)\) nous avons \[\vert\psi(e)\vert=\vert\psi(e-x)\vert\leq \vert\vert\vert \psi\vert\vert\vert \,\Vert e-x\Vert,\] soit, en passant à la borne inférieure lorsque \(x\) décrit \(\ker(\psi)\) \[\vert\psi(e)\vert\leq \vert\vert\vert \psi\vert\vert\vert \rm{dist}(e,\ker(\psi)).\] Pour obtenir l’inégalité inverse, par définition de la norme \(\vert\vert\vert \psi\vert\vert\vert\), il est équivalent d’établir \[\forall\,y\in E,\quad \vert \psi(y)\vert\leq \dfrac{\vert\psi(e)\vert}{\rm{dist}(e,\ker(\psi))}\Vert y\Vert.{\text{($\star$)}}\] Cette formule évidente si \(\psi(y)=0\), est aussi homogène en \(y\) : il est donc suffisant (quitte à remplacer \(y\) par \(y\psi(e)/\psi(y)\) ) de l’établir pour \(y\in E\) vérifiant \(\psi(y)=\psi(e)\). Dans ce cas, \(y-e\in\ker(\psi)\) qui implique (classique) \(\rm{dist}(e,\ker(\psi))=\rm{dist}(y,\ker(\psi))\geq\Vert y\Vert\), et \[\vert \psi(y)\vert \leq \vert\psi(y)\vert \dfrac{\Vert y\Vert}{\rm{dist}(y,\ker(\psi))}= \vert\psi(y)\vert \dfrac{\Vert y\Vert}{\rm{dist}(e,\ker(\psi))}\] d’où (\(\star\)), ce qui fallait démontrer.