Barre utilisateur

[ID: 2621] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Applications linéaires dans un espace vectoriel normé
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43

Que \(N_1, N_2\) soient deux normes sur \(\mathbb R[X]\) ne mérite ici aucune précision (ne pas oublier tout de même de justifier que \(N_2(P)\neq+\infty\)....).

1. On a pour tout \(n\in\mathbb N^\star\) \[N_1(X^n)=1\quad \text{et}\quad N_1(T(X^n))=N_1((X+1)^n)=\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n\] l’existence d’une constante \(C>0\) telle que \(N_1(T(P))\leq C N_1(P)\) est donc sans espoir : \(T\) est un endomorphisme discontinu de \((\mathbb R[X],N_1)\).

2. Écrivons pour \(P\in\mathbb R[X]\) \[\begin{aligned} N_2(T(P))&=\sup_{x\in\mathbb R}\left\vert P(x+1)e^{-\vert x\vert}\right\vert\\ &=\sup_{y\in\mathbb R}\left\vert P(y)e^{-\vert y-1\vert}\right\vert\quad\text{où }y=x+1,\\ &\leq e\sup_{y\in\mathbb R}\left\vert P(y)e^{-\vert y\vert}\right\vert =e N _2(P)\end{aligned}\] où l’inégalité est justifiée car \(\vert y-1\vert\geq \vert y\vert-1\) et donc \(-\vert y-1\vert\leq 1-\vert y\vert\). \(T\) est donc un endomorphisme continu de \((\mathbb R[X],N_2)\) de norme inférieure ou égale à \(e\).

3. Soit \(Q=\sum_{k=0}^d b_kX^k\), comme \[L_Q(P)=\sum_{k=0}^d b_k L_{X^k}(P){(1)}\] il est suffisant, pour démontrer la continuité de \(L_Q\), d’établir celle des applications \(L_{X^n},\ n\in\mathbb N\). Or, \[N_1(L_{X^n}(P))=N_1(X^nP)=N_1(\sum_k a_kX^{n+k})=\sum_{k=0}^{\text{deg}(P)}\vert a_k \vert=N_1(P).{(2)}\] i.e. \(\forall\,n\in\mathbb N,\ L_{X^n}\in\mathscr L_c((\mathbb R[X],N_1))\). De là, (1) et (2) donnent, pour tout polynôme \(P\) \[N_1(L_Q(P))\leq \sum_{k=0}^{d}\vert b_k\vert N_1(L_{X^k}(P))=N_1(Q)N_1(P).\] \(L_Q\) est donc un endomorphisme continu de \((\mathbb R[X],N_1)\) de norme inférieure ou égale à \(N_1(Q)\) (et en fait égale en considérant \(P=1\)).

4. Il reste à étudier la continuité de \(L_Q\) pour la norme \(N_2\). Commencons par un petit calcul, pour \(N\in\mathbb N^\star\) \[\sup_{x\in\mathbb R}\left\vert x^Ne^{-\vert x\vert}\right\vert= \sup_{x\in\mathbb R_+}\left\vert x^Ne^{-\vert x\vert}\right\vert=N^Ne^{-N}\] où la première égalité résulte de la parité ou imparité de \(x\mapsto x^Ne^{-\vert x\vert}\), la seconde étant une banale étude de fonction. Il en résulte aussitot que pour \(n,m\in\mathbb N^\star\) \[\dfrac{N_2(L_{X^n}(X^m))}{N_2(X^m)}=\dfrac{(n+m)^{n+m}e^{-n-m}}{m^me^{-m}}\\ =\left(1+\dfrac{n}{m}\right)^m(n+m)^ne^{-m}\underset{m\to\infty}{\sim}m^n\] et \(n\geq 1\) implique que \(\lim_{m\to\infty}m^n=+\infty\) : les applications \(L_{X^n}\) sont donc discontinues pour tout \(n\geq 1\).

   Une combinaison linéaire d’applications discontinues n’ayant aucun raison d’être discontinue, on ne peut en déduire immédiatement l’éventuelle discontinuité de \(L_Q=\sum_{k=0}^d b_k L_{X^k}\). Toutefois nous n’en sommes plus trés loin car pour \(Q\) de degré supérieur ou égal à \(1\) et \(n\in\mathbb N\) : \[\begin{aligned}\dfrac{N_2(L_{Q}(X^n))}{N_2(X^n)}&=\dfrac{\sup_{x\in\mathbb R}\left\vert(b_0+b_1x+\dots+b_dx^d)x^ne^{-\vert x\vert}\right\vert}{n^ne^{-n}}\\ &\geq \dfrac{\left\vert(b_0+b_1n+\dots+b_dn^d)n^ne^{-n}\right\vert}{n^ne^{-n}}\underset{n\to\infty}{\sim}\vert b_d\vert n^d \underset{n\to\infty}{\longrightarrow}+\infty\ \text{car }d\geq 1.\end{aligned}\] \(L_Q\) est donc discontinue pour la norme \(N_2\) dés que \(Q\) est non constant. Si \(Q\) est constant, \(L_Q=\lambda I_{\mathbb R[X]}\) : elle est continue.