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[ID: 2619] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

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Baireries : sur les applications \(f\ :\ \mathbb R^2\to\mathbb R\) séparément continues
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43

Sinon, il existe \((a,b)\in\mathbb R^2\) tel que \(\vert f(a,b)\vert= c>0\). L’application \(y\mapsto f(a,y)\) étant par hypothèse continue sur \(\mathbb R\) donc au point \(b\), il existe \(\varepsilon>0\) tel que \[\vert f(a,y)\vert \geq c/2,\qquad\forall\,y\in ]b-\varepsilon,b+\varepsilon[.{(\text{$\star$})}\] Si on pose pour tout \(k\in\mathbb N^\star\) \[E_k=\left\lbrace y\in]b-\varepsilon,b+\varepsilon[\ :\ \vert f(x,y)\vert\geq c/4,\ \forall\,x\in ]a-1/k,a+1/k[\right\rbrace,\] on aura, avec (\(\star\)) \[]b-\varepsilon,b+\varepsilon[=\bigcup_{k\geq 1}E_k.\] Par le théorème de Baire, l’un au moins des ensembles \(E_k\), disons \(E_m\) est non rare (i.e. \(\overset{\circ}{\overline{E_m}}\neq\emptyset\)) et il existe un intervalle \(]\alpha,\beta[\subset \overset{\circ}{\overline{E_m}}\). Il n’est maintenant pas difficile de vérifier que \[\vert f(x,y)\vert\geq c/4,\qquad\forall\,(x,y)\in ]a-1/m,a+1/m[\times]\alpha,\beta[{(\text{$\star$})}\] ce qui fourni la contradiction désirée.

Pour vérifier (\(\star\)), soit \((x,y)\in ]a-1/m,a+1/m[\times]\alpha,\beta[\). Comme \(y\in ]\alpha,\beta[\subset \overset{\circ}{\overline{E_m}}\subset \overline{E_m}\), il existe une suite \((y_n)_n\) dans \(E_m\) convergente vers \(y\) et la continuité de \(x\mapsto f(x,y)\) implique \[\left( \lim_{n\to\infty}(x,y_n)=(x,y)\quad \&\quad (x,y_n)\in]a-1/m,a+1/m[\times]\alpha,\beta[\right) \Longrightarrow \left( \vert f(x,y)\vert\geq c/4\right) .\] soit (\(\star\)).