Barre utilisateur

[ID: 2617] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Un espace de Baire \(A\subset\mathbb R\) non dénombrable et de mesure nulle
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43

-Par sa définition, \(O_\varepsilon\) est un ouvert de \([0,1]\) ; contenant la suite \(\{a_n\}\), il est aussi dense.

Comme dans un espace de Baire le complémentaire de toute partie maigre est encore de Baire (voir l’exercice précédent) : pour montrer que \(A\) est de Baire, il sera suffisant de montrer que son complémentaire (dans \([0,1]\)) est maigre (i.e. réunion dénombrable d’ensembles rares). Or \[\begin{matrix} [0,1]\setminus A=\bigcup_{p\geq 1}[0,1]\setminus O_{1/p} =&\underbrace{\bigcup_{p\geq 1}\left( [0,1]\setminus\bigcap_{n\geq 1}O_n(1/p)\right)}& :=\bigcup_{p\geq 1}F_p \\ & \text{fermé de }[0,1]\text{ car }\cap\text{ de fermés}& \\ \end{matrix}\] les fermés \(F_p=[0,1]\setminus O_{1/p}\) sont visiblement d’intérieur vide (sinon l’ouvert \(O_{1/p}\) éviterai un ouvert ce qui est absurde puisqu’il est dense car contenant la suit dense \(\{a_n\}\)) : \(A\) est bien un espace de Baire.

-Pour montrer que \(A\) n’est pas dénombrable on s’appuie sur le résultat suivant un espace de Baire séparé et sans points isolés est non dénombrable (voir l’exercice précédent). Montrons donc que \(A\) est séparé et sans points isolés.

-Soient \(x\neq y\) dans \(A=\cap_p O_{1/p}\) et posons \(\delta=\vert x-y\vert\). Le diamètre de \(O_n(1/p)\) vaut \(2/p2^n\) qui est \(<\delta\) dès que \(p\) est suffisament grand et ceci pour tout \(n\in\mathbb N\). Pour un tel choix de \(p\), il existera \(n_x\in\mathbb N\) tel que \(x\in O_{n_x}(1/p)\), alors \(y\not\in O_{n_x}(1/p)\) ; mais comme \(y\in A\) il existe \(n_y\neq n_x\in\mathbb N\) tel que \(y\in O_{n_y}(1/p)\) : \(A\) est bien séparé.

-\(A\) contenant la suite dense \(\{a_n\}\) est sans points isolés.

-\(A\) est enfin de mesure de Lebesgue nulle car pour tout \(\varepsilon>0\) \[\lambda(A)\leq\lambda(O_\varepsilon)\leq \sum_{n\geq 0}\lambda(0_n(\varepsilon)) =\sum_{n\geq 0}2.2^{-n}\varepsilon=2\varepsilon.\] D’où le résultat.