Soient \(X\) un espace topologique, \(Y\) un sous-espace de \(X\)

  1. Soit \(A\subset Y\) un ensemble fermé d’intérieur vide (dans \(Y\)). Montrer que \(A\) est rare dans \(X\) i.e. \(\mathring{\overline{A}^X}=\emptyset\).

  2. Si \(A\subset Y\) est maigre dans \(Y\), montrer qu’il est maigre dans \(X\).

  3. Dans un espace de Baire, montrer que le complémentaire de toute partie maigre est un espace de Baire.

  4. Montrer qu’un espace de Baire séparé et sans points isolés est non dénombrable.


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[ID: 2615] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Sur les espaces de Baire
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43
  1. Sinon, l’adhérence de \(A\) dans \(X\) est d’intérieur non vide : il existe donc un ouvert \(O\) de \(X\) tel que \(\mathring{\overline{A}^X}\neq\emptyset\) et par conséquent, tout fermé de \(X\) contenant \(A\) contient \(O\). Soit \(F\) un fermé de \(Y\) contenant \(A\) : il existe un fermé \(L\) de \(X\) tel que \(F=L\cap Y\). \(A\subset F=L\cap Y\) implique \(A\subset L\) et par suite \(O\subset L\). Ainsi, pour tout fermé \(F\) de \(Y\) contenant \(A\) : \(O\cap Y\subset F\), donc \[O\cap F \subset \overline{A}^Y.\] Il ne reste plus qu’à vérifier que l’ouvert \(O\cap F\) est non vide : si c’est le cas, comme \(O\) est un ouvert non vide de \(\overline{A}^X\) on aurait \(O\cap Y=\emptyset\) et \(A\subset Y\ \implies\ O\cap A=\emptyset\) soit \(ùO\subset(X\setminus\overline{A}^X)\) ce qui est absurde !

  2. Soit \(A\subset Y\) une partie maigre de \(Y\). \(A\) est donc contenue dans un réunion dénombrable de fermés (de \(Y\)) d’intérieur vide (dans \(Y\)) i.e. \[A\subset\bigcup_n F_n,\qquad F_n=\overline{F_n}^Y,\qquad \mathring{F_n}=\emptyset.\] Avec la première question, les \(F_n\) sont rares dans \(X\) et comme \(A\subset\cap_n \overline{F_n}^X\) est maigre dans \(X\) comme réunion dénombrable d’ensembles rares (dans \(X\)).

  3. Soit \(Y\subset X\) une partie maigre d’un espace de Baire \(X\). Supposons que \(Z=X\setminus Y\) ne soit pas un espace de Baire, i.e. il existe une suite \((F_n)_n\) de fermés (de \(Z\)) d’intérieur vide tels que \(Z=\cup_n F_n\), autrement dit \(Z\) est maigre dans \(Z\) et vu

  4. , \(Z\) est maigre dans \(X\). Ceci est absurde car l’espace de Baire \(X=Y\cup Z\) serait maigre comme reunion de deux ensembles maigres. CQFD.

  5. Soit \(X\) un espace de Baire séparé et sans points isolés, les singletons sont alors fermés d’intérieur vide et \(X\) ne peut être dénombrable (sinon \(X=\cup_n\{a_n\}\)....).


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