[rms]-1994/95.

Soit \((E,\Vert .\Vert)\) un espace de Banach admettant une famille libre \((a_n)_{n\geq 1}\).

Montrer que \(F_n:=\text{Vect}(a_1,\dots,a_n)\) est fermé dans \(E\).

Construire une suite \((\alpha_n)_n\) de réels strictement positifs vérifiant pour tout \(n\in\mathbb N^\star\) \[\alpha_n.\Vert a_{n+1}\Vert\leq \dfrac{1}{3}d(\alpha_na_n,F_{n-1}).\]

Justifier l’existence de \(x=\sum_{k\geq 1}\alpha_ka_k\). Existe-t-il \(n\in\mathbb N^\star\) tel que \(x\in F_n\) ?

Conclusion ?


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[ID: 2611] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Espace de Banach
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43
  1. \(E_n\) est un sous espace vectoriel normé de dimension finie de \(E\) il est donc complet (consultez votre manuel favori) et donc fermé dans \(E\) (dans un espace métrique, toute partie complète est fermée).

  2. On procède par récurrence. \(\alpha_0\) se construit sans peine ; supposons \(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n\) construits, puisque \(F_{n-1}\) est fermé et que \(\alpha_n a_n\not\in F_{n-1}\), on a \(d_n:=d(\alpha_n a_n,F_{n-1})>0\) si bien qu’en posant \(\alpha_{n+1}=\dfrac{d_n}{3\Vert a_{n+1}\Vert}\) on tire \[\begin{aligned}d_{n+1}&=d(\alpha_{n+1}a_{n+1},F_n)\leq d(\alpha_{n+1}a_{n+1},0)=\alpha_{n+1}\Vert a_{n+1}\Vert \\ &\leq \dfrac{1}{3}d_n = \dfrac{1}{3}d(\alpha_n a_n,F_{n-1})\leq \dfrac{\alpha_n\Vert a_n\ Vert}{3} \end{aligned}\] soit

  3. On déduit de la construction précédente que pour tout entier \(k\) \[\Vert\alpha_k a_k\Vert\leq \dfrac{\Vert\alpha_0 a_0\Vert}{3^k},\] La série \(\sum_n \alpha_k a_k\) est donc absolument convergente, et comme \(E\) est complet, elle converge.

  4. .................


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