Si \(A\in M_n(\mathbb C)\) on définit la classe de conjugaison de \(A\) par \[\mathscr S_A=\left\lbrace P^{-1}AP,\quad P\in GL_n(\mathbb R)\right\rbrace.\]

  1. Si \(A\) est nilpotente, montrer que \(0\in\overline{\mathscr S_A}\).

  2. Montrer l’équivalence entre :

    (i)  \(A\) est diagonalisable.

    (ii) \(\mathscr S_A\) est fermée dans \(M_n(\mathbb C).\)

  3. Soit \(A\in M_n(\mathbb C)\). Montrer que

    (i)  Montrer que \(\mathscr S_A\) est borné si, et seulement si \(A\neq\lambda I_n,\ \lambda\in\mathbb C\).

    (ii) Montrer que \(\mathscr S_A\) est connexe par arc, d’interieur vide dans \(M_n(\mathbb C)\).


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[ID: 2609] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Topologie dans \(M_n(\mathbb C)\) : les classes de conjugaison
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43
  1. C’est une conséquence immédiate de l’exercice précédent.

  2. (i) \(\Rightarrow\) (ii). Soit \(A\in M_n(\mathbb C)\) une matrice diagonale et \(B\in\overline{\mathscr S_A}\). Comme \(A\) est diagonalisable, son polynôme minimal est scindé à racines simples et est annulé par \(A\), ie \(\pi_A(A)=O\). En outre, \(M\in\mathscr S_A\ \Rightarrow \ \forall\,k\in\mathbb N\ :\ M^k=PA^kP^{-1}\ \Rightarrow\ \pi_A(M)=P\cdot\pi_A(A)\cdot P^{-1}=O\). Ainsi \[\pi_A(M)=O,\quad\forall\, M\in{\mathscr S_A}\] et par continuité1 de \(M\mapsto \pi_A(M)\) \[\pi_A(M)=O,\quad\forall\, M\in\overline{\mathscr S_A},\] ainsi \(\pi_A(B)=O\) : la matrice \(B\in\overline{\mathscr S_A}\) est donc annulée par un polynôme scindé à racine simples et est donc diagonalisable. Pour s’assurer que \(B\in\mathscr S_A\), il est maintenant suffisant de montrer que les matrices \(A\) et \(B\) ont mêmes valeurs propres et mêmes dimension de sous espaces propres.

    Soient \(\lambda\in\text{spec}(A)\), \(E_\lambda=\{x\in\mathbb C^n\ :\ Ax=\lambda x\}\) le sous-espace propre associé et \(F_\lambda=\{x\in\mathbb C^n\ :\ Bx=\lambda x\}\) et posons \(n_\lambda=\dim E_\lambda,\ m_\lambda=\dim F_\lambda\). Soit \(M\in\mathscr S_A\), \(M\) étant semblable à \(A\) : \(\text{rang}(M-\lambda I_n)=n-n_\lambda\) qui implique que les mineurs d’ordre \(n-n_\lambda+1\) de \(M-\lambda I_n\) sont nuls. Ces mineurs dépendant polynomialement et donc continuement des coefficients, les mineurs d’ordre \(n-n_\lambda+1\) de \(B\) sont aussi nuls, soit : \[n-m_\lambda=\text{rang}(B-\lambda I_n)\leq n-n_\lambda\] i.e. \[m_\lambda\geq n_\lambda,\quad\forall\lambda\in\text{spec}(A).\]

    En outre \(B\) étant diagonalisable \[\sum_{\lambda\in\mathbb C}m_\lambda=n=\sum_{\lambda\in\text{spec}(A)}n_\lambda\leq \sum_{\lambda\in\text{spec}(A)}m_\lambda\] qui implique \(n_\lambda=m_\lambda,\ \forall\,\lambda\in\text{spec}(A)\) qui assure à son tour que \(B\) est semblable à \(A\) : \(B\in\mathscr S_A\) soit \(\mathscr S_A=\overline{\mathscr S_A}\).

    (ii) \(\Leftarrow\) (i). Supposons maintenant par contraposée \(A\) non diagonalisable. On peut écrire \(A\) sous la forme \(A=D+N\) avec \(D\) diagonalisable, \(N\) nilpotente non nulle et \(ND=DN\). À conjugaison prés, on peut supposer \[D=\text{diag}(\lambda_1 I_{m_1},\dots,\lambda_k I_{m_k})\] \(\lambda_1,\dots,\lambda_k\) étant les valeurs propres distinctes de \(A\), \(m_1,\dots,m_k\) leur multiplicité. Comme \(ND=DN\), \(N\) est de la forme \[N=\text{diag}(N_1,\dots,N_k),\quad N_i\in M_{m_i}(\mathbb C),\ 1\leq i\leq k,\] et en effectuant les produits par blocs dans \(ND=DN\) on voit que l’on peut2 supposer les \(N_i\) triangulaires supérieures strictes. Alors, comme dans la preuve de la première question \[D(q)^{-1}D D(q))=D\quad\text{et}\quad \lim_q D(q)^{-1}N D(q))=0\] qui implique \[D=\lim_q D(q)^{-1}(D+N)D(q)=\lim_q D(q)^{-1}AD(q)\] i.e. \(D\in\overline{\mathscr S_A}\). D’un l’autre coté \(D\not\in\mathscr S_A\) puisque \(A\) n’est pas diagonalisable : \(\mathscr S_A\neq\overline{\mathscr S_A}\) et la seconde implication est démontrée.

     Remarques : -Dans la solution de la question précédente il est démontré que pour toute matrice \(A=D+N\in M_n(\mathbb C)\) (décomposition de Dunford), la matrice diagonale \(D\) est toujours dans \(\overline{\mathscr S_A}\).

    -Suivant Francinou Gianella &...[fgna1] on peut simplifier la preuve (i)\(\Rightarrow\)(ii) de la manière suivante : soient \(A\) diagonalisable, \(B\in\overline{\mathscr S_A}\), avec \(B=\lim_kA_k\)\((A_k)_k\subset\mathscr S_A\). \(A_k\in\mathscr S_A\) implique \(\chi_A=\chi_{A_k},\ \forall k\in\mathbb N\) et par continuité de l’application \(M\mapsto \chi_M\) il vient \[\chi_B=\lim_k\chi_{A_k}=\chi_A.\] Mais aussi, comme nous l’avons remarqué plus haut \(\pi_A(B)=O\) : la matrice \(B\) annulée par un polynôme scindé à racines simples est diagonalisable. Les matrices \(A\) et \(B\) ont donc mêmes valeurs propres (comptées avec leur multiplicités) et sont diagonalisables : elles sont semblables et \(B\in\mathscr S_A\).

  3. -Si \(A=\lambda I_n,\ \lambda\in\mathbb C\) alors \(\mathscr S_A=\{A\}\) qui est bien bornée. Maintenant, si \(A\) n’est pas une matrice scalaire l’endomorphisme \(f\) canoniquement associé à \(A\) n’est pas une homothétie et un exercice classique d’algèbre linéaire3 assure de l’existence d’un vecteur \(v\in\mathbb C^n\) tel que la famille \(\{v,f(v)=Av\}\) soit libre. Considérons alors la base \(\mathscr B_\lambda:=\{v, \lambda Av,e_3,\cdots,e_n\}\)\(\lambda>0\) et soit \(A_\lambda\in\mathscr A\) la matrice de \(A\) dans cette base. En observant la première colonne de \(A_\lambda\) il vient \(\Vert A_\lambda\Vert_\infty\geq \lambda^{-1}\longrightarrow+\infty\) lorsque \(\lambda\) tends vers \(0\) et \(\mathscr S_A\) n’est pas bornée4 dans \(M_n(\mathbb C)\).

    -Une classe de similitude n’est jamais ouverte et est même d’intérieur vide car tous les éléments d’une telle classe ayant même trace, elle est incluse dans un hyperplan affine de \(M_n(\mathbb C)\) donc d’intérieur vide.

    Pour la connexité par arcs, ce n’est pas encore clair....


  1. 1  Attention ! par contre l’application \(A\mapsto \pi_A\) n’est pas continue, on deux trouvera deux preuves dans ce document.
  2. 2  Choisir une base adaptée à la décomposition précédente dans laquelle chaque matrice \(N_i\) est triangulaire, la matrice \(D\) reste inchangée vu sa forme et le choix de la nouvelle base.↩︎

  3. Consultez votre ouvrage favori...
  4. Qu’importe la norme, elles sont toutes équivalentes...↩︎