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[ID: 2607] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Topologie dans \(M_n(\mathbb C)\) : autour des matrices nilpotentes
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43

1. -Si \(A\) est nilpotente, elle est semblable à une matrice triangulaire \(T=((t_{ij}))\) stricte (i.e. \(t_{ij}=0\) pour \(i\geq j\)). Il est bien entendu suffisant de prouver le résultat pour \(T\). Pour tout \(q\in\mathbb N\) soit \(D(q)=\text{diag}(q^n,q^{n-1},\dots,q^2,q)\) et notons \[D(q)^{-1}T D(q)=((u_{ij})),\qquad 1\leq i,j\leq n\] on a alors \[\begin{cases} u_{ij}& = q^{i-j}t_{ij},\forall\, n\geq j>i\geq 1\\ u_{ij} & = 0,\quad\text{ si } i\geq j\end{cases}\] Donc, si \(\alpha:=\max\{\,\vert t_{ij}\vert,\ 1\leq i,j\leq n\}\) on a aussitot \[\vert u_{ij}\vert\leq \dfrac{\alpha}{q},\quad \ 1\leq i,j\leq n\] et par suite \(\lim_q D(q)^{-1}T D(q)= O_{M_n(\mathbb R)}\). D’où le résultat.

   -Réciproquement soit \(\Vert.\Vert\) une norme sur \(\mathbb C^n\) et \(\vert\Vert.\vert\Vert\) la norme subordonnée sur \(M_n(\mathbb C)\).Pour tout \(A\in M_n(\mathbb C)\) et \(\lambda\in \mathbb C\) valeur propre de \(A\) on a (classiquement) : \[\vert\lambda\vert\leq\vert\Vert A\vert\Vert.\] Si bien que s’il existe une suite \((B_k)_k\) de matrices semblables à \(A\) et de limite nulle, les matrices \(A\) et \(B_k\) ayant même spectre on démontre sans peine que \[\forall\,\varepsilon>0,\quad\vert\lambda\vert<\varepsilon,\quad\forall\,\lambda\in\text{spec}(A),\] i.e. \(\text{spec}(A)=\{0\}\) et \(A\) est nilpotente.