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[ID: 2605] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Topologie dans \(M_n(\mathbb C)\) : commutant et bicommutant
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43

1. Procédons par étapes :

   -Si \(A\in\mathscr F\), il existe \(x_0\in\mathbb C^n\) tel que \(\big(A^kx_0\big)_{k=0}^{n-1}\) soit une base de \(\mathbb C^n\). Alors, l’application continue sur \(M_n(\mathbb C)\) \[\varphi_{x_0}\ :\ M_n(\mathbb C)\ni A\mapsto \varphi_{x_0}(A):=\det(x_0,\,Ax_0,\dots,\,A^{n-1}x_0)\] vérifie donc \(\varphi_{x_0}(A)\neq 0\). Par continuité de \(\varphi_{x_0}\) en \(A\) il existe \(\delta>0\) tel que \(\varphi_{x_0}(M)\neq 0\) pour tout \(M\in B(A,\delta)\) i.e. \(B(A,\delta)\subset \mathscr F\) et \(\mathscr F\) est bien ouvert.

   -Pour la connexité, vu que \[A\in \mathscr F \iff \exists P\in GL_n(\mathbb C),\,\exists\,a=(a_0,\dots,a_{n-1})\in \mathbb C^n\ :\ A=P^{-1}C(a)P,\] où \(C(a)\) est la matrice compagnon associée au vecteur \(a\in\mathbb C^n\). Autrement dit \(\mathscr F=\psi(GL_n(\mathbb C)\times\mathbb C^n)\) avec \[\psi\,:\, GL_n(\mathbb C)\times\mathbb C^n\ni(P,a)\mapsto \psi(P,a):=P^{-1}C(a)P .\] \(\psi\) est une application clairement continue de l’ouvert \(GL_n(\mathbb C)\times\mathbb C^n\) connexe (comme produit des deux ouverts connexes \(GL_n(\mathbb C)\) , et attention ! \(GL_n(\mathbb R)\) lui n’est pas connexe si \(n\geq 1\)...) et \(\mathbb C^n\) : \(\mathscr F\) est donc bien connexe comme image continue d’un connexe.

   -Il nous reste à établir la densité : mais il est bien connu que toute matrice de \(M_n(\mathbb C)\) est limite d’une suite de matrices à valeurs propres deux à deux distinctes donc semblables à des matrices de Frobenius d’où la densité.

2. Supposons \(\varphi\) continue, il en sera alors de même pour \[\quad\psi\ :\ M_n(\mathbb C)\ni A\mapsto \psi(A):=p_A-(-1)^n\pi_A\in\mathbb C[X]\] mais alors \[\mathscr F = \{A\in M_n(\mathbb C)\,:\,p_A=(-1)^n\pi_A\}=\psi^{-1}(\{0_{\mathbb C[X]}\})\] est fermé dans \(M_n(\mathbb C)\) comme image réciproque d’un fermé par une application continue. Nous avons vu plus haut que \(\mathscr F\) est ouvert : c’est donc une partie à la fois ouverte, fermée, non vide du connexe \(M_n(\mathbb C)\), la seule alternative est \(\mathscr F=M_n(\mathbb C)\) : égalité absurde si \(n\geq 2\) et trivialle si \(n=1\).

3. Pour toute matrice \(A\in M_n(\mathbb C)\) on a l’inclusion évidente \(\mathbb C[A]\subset{\rm Com}(A)\) ; mais, si \(A\) est cyclique \(\mathbb C[A]=\text{vect}\{\,I_n,A,\dots,A^{n-1}\}\) est (lemme fondamental) de dimension \(n\), et par ailleurs, l’ensemble des matrices cycliques \(\mathscr C_n(\mathbb C)\) est ouvert dense dans \(M_n(\mathbb C)\). Par transitivité de la densité, il sera donc suffisant de montrer que l’ensemble \[F:=\{\,A\in M_n(\mathbb C)\ :\ \dim{\rm Com}(A)\geq n\}\] est fermé dans \(M_n(\mathbb C)\). Pour établir ce dernier point, considérons, si \(A\in M_n(\mathbb C)\), l’endomorphisme \(\varphi_A\in\mathscr L(M_n(\mathbb C))\) défini par \[\varphi_A(B)=AB-BA,\] avec ce choix \[\ker(\varphi_A)={\rm Com}(A)\] si bien que \[F=\{\,A\in M_n(\mathbb C)\ :\ \text{rang}(A)\leq n^2-n\}.\]

   Sous cette forme, il est n’est pas difficile de vérifier que \(F\) est fermé dans \(M_n(\mathbb C)\) : soit \(A\in\overline F\), il existe dans \(F\) une suite \((A_k)_k\) de limite \(A\), ce qui implique aussitot : \(\lim_k\varphi_{A_k}=\varphi_{A}\). Montrer que \(A\in F\) est maintenant une conséquence immédiate de la semi-continuité inférieure de l’application rang en dimension finie, précisément :

   Pour tout espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(d\) et tout entier \(1\leq k\leq d\), les ensembles de niveau \(\mathscr R_k=\{ T\in\mathscr L(E)\ :\ \text{rang}(T)\leq k\}\) sont fermés dans \(\mathscr L(E)\).

   En effet, pour \(T\in\overline{\mathscr R_k}\), \((T_l)_l\subset\mathscr R_k\) de limite \(T\) : si \(r=\text{rang(T)}\), la matrice \(T\) admet un mineur \(\Delta_r(T)\) non nul et par continuité : \(\lim_l\Delta_r(T_l)=\Delta_r(T)\ne 0\). Il existe donc \(l_0\) tel que \(l\geq l_0\) implique \(\Delta_r(T_l)\ne 0\) ; autrement dit : \(\forall l\geq l_0\ :\ k\geq \text{rang}(T_l)\geq r\) i.e. \(k\geq r\ \implies\ T\in F\). Le résultat suit avec \(T=\varphi_A,\ T_l=\varphi_{A_l}\).

    

   -La démonstration de la non continuité \(A\mapsto \pi_A\) donnée dans la seconde question n’est bien entendu pas celle que l’on doit fournir le jour d’un oral (le pré-requis est trop important). Il faut impérativement connaitre la suivante, classique, rapide et simple : Supposons \(\varphi\) continue, l’ensemble \(\mathscr D'_n(\mathbb C)\) des matrices à valeurs propres deux à deux distinctes étant (cf exercice ???) dense dans \(M_n(\mathbb C)\), il existe une suite \((A_k)_k\subset\mathscr D'_n(\mathbb C)\) telle que \[I_n=\lim_{k\to\infty}A_k.\] Par continuité de \(\varphi\) \[\pi_{I_n}=\lim_{k\to\infty}\pi_{A_k}\] mais sur \(\mathscr D'_n(\mathbb C)\ :\ (-1)^n\pi_A=P_A\) si bien que \[X-1=\pi_{I_n}=\lim_{k\to\infty}\pi_{A_k}=\lim_{k\to\infty}P_{A_k}=P_{I_n}=(-1)^n(X-1)^n\] égalité absurde si \(n>1\) (si \(n=1\) polynôme minimal et caractéristique coïncident d’où l’évidente continuité de \(\varphi\) ) l’application est donc discontinue en \(I_n\).

   -Sur la dimension et parler du bicommutant.............voir un autre exo.........