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\(\exp(A)\in\mathbb C[A],\quad \forall A\in M_n(\mathbb C)\)
Soit \(A\in M_n(\mathbb C)\). Montrer qu’il existe un polynôme \(P\in\mathbb C[X]\) tel que \[e^A=P(A).\]
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[ID: 2603] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]Solution(s)
Solution(s)
\(\exp(A)\in\mathbb C[A],\quad
\forall A\in M_n(\mathbb C)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43
L’ensemble \(\mathscr V:=\{\,P(A),\ P\in\mathbb C[X]\}\) est un sous-espace vectoriel de \(M_n(\mathbb C)\) qui est de dimension finie : \(\mathscr V\) est donc lui aussi1 fermé dans \(M_n(\mathbb C)\). Mais \(e^A=\lim_N\sum_{k=0}^N\frac{A^k}{k!}\) appartient à l’adhérence de \(\mathscr V\) dans \(M_n(\mathbb C)\) donc à \(\mathscr V\), d’où le résultat.
- 1 un sous-espace de dimension finie d’un e.v.n. est toujours fermé
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\forall A\in M_n(\mathbb C)\)
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