Soit \(\Omega\) un ouvert de \(\mathbb R\) et \(f\,:\ \Omega\to\mathbb R\) une application dérivable. On suppose \(f'\) identiquement nulle (respectivement \(>0\)) sur \(\Omega\) ; \(f\) est-elle constante sur \(\Omega\) (resp. strictement croissante) sur \(\Omega\) ?


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[ID: 2599] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Connexité
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43

Bien sûr que non ! il suffit de considérer pour le premier cas l’application \(f\,:\,\Omega=\mathbb R^\star\to\mathbb R\) définie par

\[f(x)=\begin{cases} -1\quad&\text{ si }x>0,\\ +1\quad&\text{ si} x<0.\end{cases}\]

et pour le second la fonction \(g\,:\,\Omega=\mathbb R^\star\to\mathbb R\)\(\displaystyle g(x)=-{1\over x}\).

Remarque : dans les deux cas c’est la non connexité de \(\Omega\) qui fait capoter ce résultat archi-classique.


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