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[ID: 2597] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Le théorème de Riesz dans un espace de Hilbert : c’est facile !
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43

1. Supposons \(H\) de dimension infinie, on peut alors construire dans \(H\) (Hilbert-Schmidt) une famille orthonormale \((e_j)_{j\in\mathbb N}\) bien entendu incluse dans \(\mathscr B_H\). Mais pour tout \(i\ne j\ :\ \Vert e_i-e_j\Vert =\sqrt 2\), toute boule ouverte dans \(H\) de rayon \(\sqrt{2}/2\) ne peut donc contenir plus d’un vecteur \(e_j\) : il est par conséquent exclus d’espérer du recouvrement ouvert de \(\mathscr B_H\)

   \[\mathscr B_H\subset\bigcup_{x\in\mathscr B_H} B(x,{{\sqrt 2}\over 2})\]

   extraire un sous-recouvrement fini ; contradiction.

   1. \(H\) est de dimension infinie : soit \(\mathscr E:=\{e_n,\ n\in\mathbb N\}\) une famille orthonormale, elle est visiblement bornée. Montrons qu’elle est fermée : soit \(x\in\overline{\mathscr E}\) : il existe une suite \((e_{\varphi(k)})_k\subset \mathscr E\) qui converge vers \(x\). On a donc \(\lim_k\Vert e_{{\varphi(k+1)}}-e_{\varphi(k)}\Vert =0\), mais pour tout \(i\ne j\ :\ \Vert e_i-e_j\Vert =\sqrt 2\). La seule alternative est alors que \(\varphi\) soit constante à partir d’un certain rang \(k_0\) i.e. \(x=e_{\varphi(k_0)}\in\mathscr E\) qui est donc fermé.

      Comme pour la question précédente \(\mathscr E\) n’est pas compact vu le recouvrement ouvert \(\bigcup_{n\in\mathbb N} B(e_n,{{\sqrt 2}\over 2})\).

      Remarque : C’est bien sûr la version Hilbert du célèbre théorème de Riesz dont la preuve est un peu plus délicate. Le cadre particulier des espaces de Hilbert permet cette très simple et élégante approche.