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[ID: 2591] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:43] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Topologie dans \(M_n(\mathbb R)\) et \(M_n(\mathbb C)\) : propriétés de \(\mathscr D_n\) et \(\mathscr D'_n\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:43

-Nous avons déja vu dans l’exercice précédent que \(\mathscr D'_n(\mathbb C)\) est ouvert. Bien entendu \(\mathscr D'_n(\mathbb C)\subset\mathscr D_n(\mathbb C)\) donc

\[\mathscr D'_n(\mathbb C)\subset\mathscr D_n^o(\mathbb C) {(\text{$\star$})}\]

Pour l’inclusion inverse, supposons qu’il existe \(A\in \mathscr D_n^o(\mathbb C)\) admettant une valeur propre \(\lambda\) d’ordre supérieur ou égal à deux, il existe alors \(P\in\,GL_n(\mathbb C)\) telle que \(A=P^{-1}DP\) avec

\[D=\begin{pmatrix} \lambda &0&0&\dots &0\\ 0&\lambda &0 & \dots & 0\\ 0& 0 & \lambda_3& \dots & 0\\ \vdots & \ddots &\vdots&\ddots & \vdots\\ 0&\dots&0& \dots& \lambda_n \end{pmatrix}\]

soit alors, pour \(k\in\mathbb N^\star\)

\[D_k= \begin{pmatrix} \lambda &k^{-1}&0&\dots &0\\ 0&\lambda &0 & \dots & 0\\ 0& 0 & \lambda_3& \dots & 0\\ \vdots & \ddots &\vdots&\ddots & \vdots\\ 0&\dots&0& \dots& \lambda_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} M_\lambda &0&\dots &0\\ 0 & \lambda_3& \dots & 0\\ \vdots &\vdots&\ddots & \vdots\\ 0&0& \dots& \lambda_n \end{pmatrix} \quad\text{avec}\quad M_k= \begin{pmatrix} \lambda &k^{-1}\\ 0&\lambda \end{pmatrix}.\]

Le polynôme minimal de \(D_k\) est un multiple du polynôme minimal de \(M_k\) qui vaut \((x-\lambda)^2\), il n’est donc pas scindé à racines simple : la matrice \(D_k\) et par suite \(A_k=P^{-1}D_k P\) n’est pas diagonalisable. Mais par construction, \(\lim_kA_k=A\), et la matrice \(A\) ne peut être intérieure à \(\mathscr D_n(\mathbb C)\). Les matrices intérieures à \(\mathscr D_n(\mathbb C)\) ne peuvent avoir de valeurs propres multiples : \(\mathscr D^o_n(\mathbb C)\subset\mathscr D'_n(\mathbb C)\) d’où l’égalité avec (\(\star\)).

-Il s’agit maintenant de prouver que \(\mathscr D_n(\mathbb C)\) et \(\mathscr D'_n(\mathbb C)\) sont denses dans \(M_n(\mathbb C)\), on va montrer que \(\overline{\mathscr D'_n(\mathbb C)}=M_n(\mathbb C)\). Soit \(A\in M_n(\mathbb C)\), il existe \(P\in GL_n(\mathbb C)\), une matrice \(T=((t_{ij}))\in M_n(\mathbb C)\) triangulaire supérieure telles que

\[A=PTP^{-1}.\]

On pose alors : \[\alpha= \begin{cases} 1\quad&\quad\text{si}\quad\ t_{ii}=t_{jj} \text{ pour tout }1\leq i\ne j\leq n,\\ \inf\{\,\vert t_{11}-t_{jj}\vert\ :\ 1\leq i,j\leq n\} \quad&\quad \text{sinon} \end{cases}\] et on considère la suite de matrices \((T_k := T+\Delta_k)_{k\geq 1}\) où

\[\Delta_k=\begin{pmatrix} {\alpha\over k}&0&0&\dots&0\\ 0&{\alpha\over 2k} &0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\dots&\dots&0\\ 0&0&\dots&0& {\alpha\over nk} \end{pmatrix}\]

par le choix de \(\alpha\), les valeurs propres des matrices \(T_k,\ (k\geq 1)\) sont deux à deux distinctes car si

\[t_{ii}+{\alpha\over ik} =t_{jj}+{\alpha\over jk} \text{ avec } t_{ii}\ne t_{jj}\]

on aurait : \[\vert t_{ii}-t_{jj}\vert ={\alpha\over k}\left\vert{1\over i} -{1\over j}\right\vert<{\alpha\over k}\leq \alpha\]

qui contredit la définition de \(\alpha\). Ainsi

\[(T_k)_{k\geq 1}\subset\mathscr D'_n(\mathbb C)\]

Enfin, par continuité du produit matriciel \(A=\lim_k PT_kP^{-1}\) d’où la densité de \(\mathscr D'_n(\mathbb C)\) et donc de \(\mathscr D_n(\mathbb C)\) dans \(M_n(\mathbb C)\).

Remarques : -Ce résultat est faux dans \(M_n(\mathbb R)\) ceci fait l’objet de l’exercice suivant. Remarquons tout de même le cas cas \(n=2\) qui est lumineux : l’application discriminant

\[\varphi\ :\ A= \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb R) \mapsto \varphi(A) = (a-d)^2+4bc\in\mathbb R\]

est continue, mais \(A_k\in\mathscr D_2(\mathbb R)\Longrightarrow \varphi(A_k)\geq 0\), si bien que

\[\left( (A_k)_k\subset \mathscr D_2(\mathbb R)\ \&\ \lim_k A_k=A\right) \Longrightarrow \left(\varphi(A)=\lim_k\varphi(a_k)\geq 0\right) {(\bigstar)}\]

il suffit alors de choisir \(A\in M_2(\mathbb R)\) à valeurs propres complexes non réelles de sorte que \(\varphi(A)<0\) qui, avec \((\bigstar)\) assure que \(A\not\in \overline{\mathscr D_2(\mathbb R)}\).

-En fait l’adhérence dans \(M_n(\mathbb K),\ (\mathbb K=\mathbb R\text{ ou }\mathbb C)\) de \(\mathscr D_n(\mathbb K)\) est l’ensemble des matrices à polynôme caractéristique scindé sur \(\mathbb K\), fait qui explique la densité si \(\mathbb K=\mathbb C\) (dans \(\mathbb C\) tout polynôme est scindé) et la non densité si \(\mathbb K=\mathbb R\), c’est l’objet de l’exercice suivant.