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[ID: 2586] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:17] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Topologie dans \(M_n(\mathbb R)\) : l’adhérence de \(\mathscr D_n(\mathbb R)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:17

1. Soit \(P\in\mathbb R[X]\) un polynôme unitaire, de degré \(d\). Si \(P\) est scindé sur \(\mathbb R\), on a, en notant \(\lambda_1,\dots,\lambda_d\in\mathbb R\) les zéros de \(P\) \[P(z)=\prod_{k=1}^d(z-\lambda_k).\] Alors, pour tout \(z\in\mathbb C\) \[\vert P(z)\vert=\prod_{k=1}^d\vert z-\lambda_k\vert=\prod_{k=1}^d \vert \text{re}({z})-\lambda_k-i\text{Im}(z)\vert\geq \vert \text{Im}(z)\vert^d\] (la dernière inégalité n’est rien d’autre que \(\vert z\vert\geq \vert\text{Im}(z)\vert\).....) La réciproque est évidente puisque () implique que les racines de \(P\) sont réelles.

2. Soit \((A_k)_k\in M_n(\mathbb R)\) une suite convergente de matrices trigonalisables sur \(\mathbb R\) et \(A\) sa limite, les polynômes caractéristiques \(P_{A_k}\) sont donc scindés sur \(\mathbb R\) soit \[\forall\,z\in\mathbb C,\ k\in\mathbb N\quad :\quad \vert P_{A_k}(z)\vert\geq \vert\text{im}(z)\vert^n.\] Il ne reste plus qu’à invoquer la continuité de l’application \(A\mapsto P_A\) pour en déduire que \[\forall\,z\in\mathbb C,\quad :\quad \vert P_{A}(z)\vert\geq \vert\text{im}(z)\vert^n.\] Vu

   1. , \(P_A\) est scindé sur \(\mathbb R\) : \(A\) est donc triangularisable.

   2. Le polynôme caractéristique d’une matrice diagonale dans \(M_n(\mathbb R)\) étant scindé sur \(\mathbb R\), les questions précédentes assurent que l’adhérence dans \(M_n(\mathbb R)\) de l’ensemble des matrices diagonalisables est inclue dans l’ensemble des matrices triangularisables. L’inclusion inverse est facile à vérifier (raisonner comme dans la seconde partie de ’exercice précédent...).