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[ID: 2582] [Date de publication: 9 novembre 2022 14:07] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Normes sur \(\mathscr C^0([0,1])\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 14:07

1. \(\forall\,f\in\mathscr C^0([0,1])\ :\ 0\leq N(f)\leq \Vert f\Vert_\infty\sum_n a_n<+\infty\), \(N\) est donc bien définie. Le seul point non trivial restant à vérifier pour que \(N\) soit une norme est \(N(f)=0\Longleftrightarrow f\equiv 0\). Mais \(N(f)=0\) implique que \(f\) est nulle sur la partie dense \((s_n)_n\), par continuité elle est donc identiquement nulle sur \([0,1]\). \(N\) est donc une norme sur \(f\in\mathscr C^0([0,1])\).

2. Soit \(n\geq 1\) et \((I_k)_0^{n-1}\) la subdivision de pas constant \(\frac{1}{n}\) de l’intervalle \([0,1]\). Puisque la série \(\sum_k a_k\) converge, il existe \(0\leq k_0\leq n-1\) tel que \[\sum_{k\in I_{k_0}}a_k\leq \dfrac{1}{n}\sum_{k\geq 0}a_k.\] en effet sinon, (la série étant à termes positifs) \[\sum_{k\geq 0}a_k=\sum_{k\in I_1}a_k+\dots+\sum_{k\in I_n}a_k>\frac{1}{n}\sum_{k\geq 0} a_k+\dots+\frac{1}{n}\sum_{k\geq 0} a_k=\sum_{k\geq 0} a_k\] ce qui est absurde.

   Il est clair que \(\Vert f\Vert_\infty=s^{-1}\) et \(f\) étant nulle en dehors de \(I_{l_n}\) nous avons \[N(f_n)=\sum_{k\geq 0}a_k\vert f_n(s_k)\vert=\sum_{k\in I_{l_n}}a_k\vert f_n(s_k)\vert \leq \sum _{k\in I_{l_n}}a_k\Vert f_n\Vert_\infty \leq \dfrac{\sum _{k\in I_{l_n}}a_k}{s}\leq\dfrac{1}{n}.\] \(N(f_n)=\frac{1}{n}\) et \(\Vert f_n\Vert_\infty=s^{-1}\) pour tout \(n\geq 1\) assure que les deux normes ne peuvent être équivalentes sur \(\mathscr C^0([0,1])\) (parce que cela implique qu’il ne peut exister de constante \(C>0\) telle que \(\Vert f\Vert_\infty\leq C. N(f)\) ou bien parce que \(N(f_n)=\frac{1}{n}\) implique que la suite \((f_n)_n\) converge vers zéro dans \((\mathscr C^0([0,1],N)\) ce qui ne peut être le cas dans \((\mathscr C^0([0,1],\Vert.\Vert_\infty)\) puisque les applications \(f_n\) y sont de normes \(s^{-1}\)).