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[ID: 2580] [Date de publication: 9 novembre 2022 13:49] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Espace métrique et continuité
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 13:49

-La continuité de \(h\ :\ X\ni x\ \mapsto d(x,\partial D)\) est classique. Par conséquent, l’application définie par \(g(x):=d(f(x),\partial D)-d(x,\partial D)\) est aussi continue. Nous allons montrer successivement qu’il existe \(z_0\) et \(y_0\) dans \(D\) vérifiant \(g(z_0)\leq 0\) et \(g(y_0)\geq 0\). L’existence de \(x_0\) résulte alors de la connexité de \(D\) via la continuité de \(f\).

-\(h\) étant continue et \(\overline D\) compact, il existe \(z_0\in \overline D\) tel que \(h(z_0)=d(z_0,\partial D)=\sup_{z\in\overline D}d(z,\partial D)\). \(D\) étant ouvert et non vide : \(h(z)>0,\ \forall\,z\in D\) de sorte que \(z_0\in D\). Enfin comme \(f(z_0)\in D\) : \(d(f(z_0),\partial D)\leq d(z_0,\partial D)\) ; autrement dit \(g(z_0)\leq 0\).

-Pour l’existence de \(y_0\) on distingue deux cas :

\(\triangleright\quad\) Si \(f(D)=D\), alors il existe \(y_0\in D\) tel que \(f(y_0)=z_0\). Alors \(g(y_0)=d(z_0,\partial D)-d(y_0,\partial D)\geq 0\).

\(\triangleright\quad\) Si \(f(D)\ne D\) et puisque \(D\) est connexe et \(f(D)\) ouvert il existe \(w\in D\cap\partial f(D)\) tel que \(w\not\in f(D)\) (sinon on aurait une partition de \(D\) en deux ouverts disjoints non vides...). Considérons alors une suite \((y_n)_n\) dans \(D\) telle que \(f(y_n)\to w\). \(\overline D\) étant compact, on peut (quitte à extraire une sous-suite) supposer la suite \((y_n)_n\) convergente, disons vers \(\alpha\in\overline D\). \(w\not\in f(D)\) implique \(\alpha\in\partial D\) et par conséquent \(d(y_n,\partial D)\to 0\). toutefois \(\lim_n d(f(y_n),\partial D)=d(w,\partial D)>0\) : nous avons donc pour \(n\) assez grand \(g(y_n)>O\). CQFD