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[ID: 2578] [Date de publication: 9 novembre 2022 13:49] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

L’ensemble \(\mathscr P\) des nombres premiers est infini : preuve topologique
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 13:49

1. Une réunion quelconque d’ouverts sera visiblement ouverte. Pour deux ouverts \(O_1,O_2\) et \(a\in O_1\cap O_2\), il existe \(b_1,b_2\in\mathbb N^\star\) tels que \(N_{a,b_1}\subset O_1,\ N_{a,b_2}\subset O_2\) et par conséquent \(N_{a,b_1b_2}\subset O_1\cap O_2\) : \(\mathscr T\) est stable par intersection finie et définit bien une topologie sur \(\mathbb Z\).

   Par construction, tout ouvert non vide est clairement de cardinal infini et la seconde assertion résulte de l’égalité élémentaire \[N_{a,b}=\mathbb Z\setminus\left( \bigcup_{k=1}^{b-1}N_{a+k,b}\right)\] qui assure que \(N_{a,b}\) est fermé comme complémentaire d’un ouvert.

2. Comme tout entier \(n\neq \pm 1\) admet un diviseur premier \(p\) et appartient donc à \(N_{0,p}\), nous avons \[\mathbb Z\setminus\{+1,-1\}=\bigcup_{p\in\mathscr P}N_{0,p}.\] Maintenant, si \(\mathscr P\) est fini alors \(\cup_{p\in\mathscr P}N_{0,p}\) est fermé comme réunion finie de fermés et, comme complémentaire d’un fermé, \(\{-1,1\}\) est ouvert ce qui est absurde puisque tout ouvert non vide est de cardinal fini : l’ensemble des nombres premiers est bien infini.