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[ID: 2576] [Date de publication: 9 novembre 2022 13:49] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Démonstration des inégalités faibles de Kolmogorov via les normes équivalentes, formule de Taylor
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 13:49

1. \(N_1\) et \(N_2\) sont deux normes sur \(\mathbb R_n[X]\) espace vectoriel de dimension finie \(n+1\) : elles sont donc équivalentes.

2. Avec Taylor-Lagrange nous avons pour tout \(x\geq a,\ \delta\geq u>0\) \[f(x+u)=f(x)+f'(x)u+\dots+f^{(n)}(x)\dfrac{u^n}{n!}+\dfrac{u^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\zeta)\quad\text{où}\quad \zeta\in ]x,x+u[,\] soit \[\left\vert f(x)+f'(x)u+\dots+f^{(n)}(x)\dfrac{u^n}{n!}\right\vert\leq \vert f(x+u)\vert+\dfrac{\delta^{n+1}}{(n+1)!}\Vert f^{(n+1)}\Vert\leq \Vert f\Vert++\dfrac{\delta^{n+1}}{(n+1)!}\Vert f^{(n+1)}\Vert\] nous avons donc pour tout \(x\geq a\) \[\sup_{0\leq u\leq\delta}\left\vert f(x)+f'(x)u+\dots+f^{(n)}(x)\dfrac{u^n}{n!}\right\vert= \sup_{0\leq u\leq\delta}\left\vert P_x(u)\right\vert=N_2(P_x)\leq M\]

3. Il ne reste plus qu’à combiner les deux inégalités : \(N_1(P_x)\leq \lambda N_(P_x)\).

   Remarques : -Pour une fonction \(f\in\mathscr C^2(\mathbb R)\) si \(f\) et \(f''\) sont bornées sur \(\mathbb R\) il en est de même pour \(f'\) et on a les inégalités de Kolmogorov à l’ordre \(2\) (avec \(M_i=\sup_{x\in\mathbb R}\vert f^{(i)}(x)\vert,\ i=0,1,2\)) \[M_1\leq \sqrt{2M_0M_2}.\] La preuve repose sur l’inégalité de Taylor-Lagrange qui assure que pour tout réel \(x\) et tout \(h>0\) : \[\vert f(x+h)-f(x)-hf'(x)\vert\leq \dfrac{h^2M_2}{2}\] En appliquant maintenant l’inégalité de Taylor-Lagrange entre cette fois-ci \(x\) et \(x-h\) on a \[\vert f(x-h)-f(x)+hf'(x)\vert\leq \dfrac{h^2M_2}{2}.\] Ces deux inégalités et l’inégalité triangulaire donnent pour tout \(x\in\mathbb R,\ h>0\) \[\vert f(x+h)-f(x-h)+2hf'(x)\vert\leq h^2M_2\] soit \[\vert f'(x)\vert\leq \dfrac{hM_2}{2}+\dfrac{M_0}{h}:=g(h),\quad \forall\,h\in\mathbb R_+^\star.\] Un calcul rapide montre que l’inf de \(g\) sur \(\mathbb R_+^\star\) vaut \(\sqrt{2M_0M_2}\) pour \(h=\sqrt{\dfrac{M_2}{2M_0}}\) soit finalement \[\vert f'(x)\vert \leq \sqrt{2M_0M_2}.\] Ceci étant vrai pour tout \(x\in\mathbb R\), \(f'\) est bornée et \(M_1\leq \sqrt{2M_0M_2}\).

   -Avec plus de persévérence on démontre (voir par exemple ....) les inégalités de Kolmogorov : soit \(f\in\mathscr C^n(\mathbb R)\). Si \(f\) et \(f^{(n)}\) sont bornées sur \(\mathbb R\), il en est de même des dérivées intermédiaires et on a (avec les mêmes notations que dans la remarque précédente) \[M_k\leq 2^{\frac{k(k-n)}{2}}M_0^{1-\frac{k}{n}}M_n^{\frac{k}{n}},\quad k\in\{0,1,\dots,n\}.\]