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[ID: 2574] [Date de publication: 9 novembre 2022 13:49] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Normes, normes équivalentes
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 13:49

1. Soit \(f\in\mathscr E\) vérifiant \(\Vert f\Vert=0\). Comme donc \(f+2f'+f''=0\), \(f\) est de la forme \(t\mapsto \lambda e^t +\mu e^{-t}\) et les conditions \(f(0)=f'(0)=0\) impliquent \(\lambda=\mu=0\) ; \(f\) est donc identiquement nulle. Les autres axiomes des normes sont faciles à vérifier.

   Soit \(f\in\mathscr E\). Posons \(g=f+2f'+f''\), on a donc \(\Vert g\Vert_\infty=\Vert f\Vert\). Nous allons exprimer \(f\) en fonction de \(g\). En remarquant que \(f\) est une solution de l’équation différentielle \(y''+2y'+y=g\). Les solutions de l’équation sans second membre sont de la forme \(e^{-t}(\alpha t+\beta)\) ; la méthode de variation des contantes nous conduit alors à chercher deux fonctions \(\alpha\) et \(\beta\) telles que \[\begin{cases} te^{-t}\alpha'(t)+e^{-t}\beta'(t)&=0\\ (1-t)e^{-t}\alpha'(t)-e^{-t}\beta'(t)&=g(t)\end{cases}\] soit \[\begin{cases} t\alpha'(t)+\beta'(t)&=0\\ (1-t)\alpha'(t)-\beta'(t)&=e^t g(t)\end{cases}\] qui donne \[\alpha'(t)=e^{t}g(t)\quad\text{et}\quad\beta'(t)=-te^tg(t),\] soit \[\alpha(t)=\int_0^t e^xg(x)dx+\lambda,\quad \beta(t)=-\int_0^t xe^x g(x)dx+\mu.\] Comme \(f(t)=e^{-t}(\alpha(t) t+\beta(t))\) les conditions initiales \(f(0)=f'(0)=0\) assurent \(\lambda=\mu=0\) et finalement \[f(t)=e^{-t}\int_0^t (t-x)e^xg(x)dx.\] On en déduit \[\vert f(t)\vert\leq \Vert g\Vert_\infty e^{-t}\int_0^t (t-x)e^xdx=\Vert f\Vert (1-e^{-t}(1+t)\leq \Vert f\Vert \sup_{[0,1]}(1-e^{-t}(1+t) =\Vert f\Vert\left(1-\frac{2}{e}\right).\] La constante \(1-2e^{-1}\) est bien la meilleure possible puisque pour \(f(t)=(1-e^{-t}(1+t)\) qui appartient bien à \(\mathscr E\) on a \(\Vert f\Vert=1\) et \(\Vert f\Vert_\infty=1-2e^{-1}\).

2. Les deux normes ne sont toutefois pas équivalentes puisque (par exemple) la suite \((f_n)_{n\geq 2}\) dans \(\mathscr E\) définie par \(f_n(t)=t^n/n\) tends vers zéro pour la norme \(\Vert\cdot\Vert_\infty\) mais pas pour la norme \(\Vert\cdot\Vert\) car \(\Vert f_n\Vert_\infty=1/n\) alors que \(\Vert f_n\Vert=n^{-1}+1+n\).