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[ID: 2572] [Date de publication: 9 novembre 2022 13:49] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

Complémentaire d’un hyperplan dans un espace vectoriel normé
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 13:49

Il est utile de se souvenir qu’un hyperplan est le noyau d’une forme linéaire non identiquement nulle sur \(E\) ; il faut aussi ne pas oublier (voir exercice ???) qu’un hyperplan \(H=\ker(\varphi)\) est fermé si, et seulement si, la forme linéaire \(\varphi\) est continue. Rappelons aussi (voir l’exercice ??) que dans un espace vectoriel normé de dimension infinie, il existe toujours des formes linéaires discontinues.

Supposons \(H\) fermé et montrons que \(E\setminus H\) n’est pas connexe. Soit \(\varphi\) une forme linéaire sur \(E\) de noyau \(H\), posons \(H^+=\varphi^{-1}(\mathbb R_+^\star),\ H^-=\varphi^{-1}(\mathbb R_-^\star)\). Comme \(\varphi\) n’est pas identiquement nulle \(H^+\) et \(H^-\) sont non vides, montrons que \(H^+\) est ouvert1. Soit \(x\in H^+\) et \(r>0\) tel que \(B(x,r)\subset E\setminus H\) (une telle boule existe car \(H\) est fermé donc \(E\setminus H\) est ouvert) ; la boule \(B(x,r)\) est convexe et \(\varphi\) est linéaire donc \(\varphi(B(x,r))\) est une partie convexe de \(\mathbb R\) ne contenant pas l’origine mais rencontrant \(\mathbb R_+^\star\) c’est donc un intervalle de \(\mathbb R_+^\star\). Ainsi \(\varphi(B(x,r))\subset\mathbb R_+^\star\) et donc \(B(x,r)\subset H^+\) qui est bien ouvert. De la même manière \(H^-\) est fermé. On dispose ainsi d’une partition de \(E\setminus H\) en deux ouverts non vides \(H^+\) et \(H^-\) : \(E\setminus H\) est pas connexe et à fortiori n’est pas connexe par arcs.

Pour la réciproque, le lemme suivant est crutial.

Lemme : Soit \(C\) une partie convexe de \(E\) et \(D\) une partie de \(E\) telle que \(C\subset D\subset\overline C\). Alors \(D\) est connexe par arcs.

Preuve du lemme : Il s’agit de montrer que pour tous \(c,d\in D\) il existe un chemin continu \(\gamma\ :\ [0,1]\to D\) tel que \(\gamma(0)=c\) et \(\gamma(1)=d\).

Supposons pour commencer que \(c\in C\) et \(d\in D\subset\overline C\), alors il existe une suite \((x_n)_n\) dans \(C\) de limite \(d\) et de premier terme \(x_1=c\). Considérons alors le chemin continu \(\gamma\ :\ [0,1]\to D\) défini comme suit : pour tout \(n\in\mathbb N^\star\ :\ \gamma(1-1/n)=x_n\), la restriction de \(\gamma\) à \([1-1/n,1-1/(n+1)]\) est affine, et enfin \(\gamma(1)=d\). Comme \(C\) est convexe et inclu dans \(D\) il est clair que \(\gamma([0,1[)\subset C\subset D\) et \(\gamma(1)=d\) implique \(\gamma([0,1])\subset D\). La restriction de \(\gamma\) à chaque segment de \([0,1[\) est affine par morceaux : \(\gamma\) est donc continue sur \([0,1[\). Il reste donc à vérifier que \(\gamma\) est bien continue au point \(1\). Pour cela, soit \(\varepsilon>0\) et \(N\geq 1\) tel que \(n\geq N\) implique \(x_n\in B(d,\varepsilon)\). Pour \(t\in ]1-1/N,1[\) il existe \(n\geq N\) tel que \(t\in [1-1/n,1-1/(n+1)]\), soit \(\gamma(t)\in [x_n,x_{n+1}]\), comme \(x_n\) et \(x_{n+1}\) sont dans la boule convexe \(B(d,\varepsilon)\) il en est de même de \(\gamma(t)\) i.e. \(\Vert\gamma(t)-d\Vert=\Vert\gamma(t)-\gamma(1)\Vert<\varepsilon\). \(\gamma\) est bien continue au point \(1\).

Pour le cas général \(c,d\in D\), et on choisit un point \(e\) dans \(C\), vu ce qui précède il existe dans \(D\) deux chemins continus sur \([0,1]\), l’un reliant \(e\) à \(c\) et l’autre \(e\) à \(d\) et c’est alors une procédure classique pour en construire un reliant \(c\) à \(d\). C.Q.F.D.\(\blacksquare\)

Montrons maintenant que si \(H\) n’est pas fermé, alors \(E\setminus H\) est connexe par arcs. \(\overline H\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) contenant strictement \(H\), donc \(\overline H=E\). Soit \(a\in E\setminus H\), l’application \(x\mapsto x+a\) étant un homéomorphisme \(\overline{a+H}=a+\overline H= E\). Ainsi \(a+H\subset E\setminus H\subset \overline{a+H}\). \(a+H\) étant convexe, le lemme précédent assure que \(E\setminus H\) est connexe par arcs.

Remarque : Par exemple, si on considére l’espace \(E=\mathscr C([0,1],\mathbb R)\) et l’hyperplan \(F=\{f\in E \ :\ f(0)=0\}\), alors \(E/H=\{f\in E \ :\ f(0)\neq 0\}\) est connexe par arcs dans \((E,\Vert\cdot\Vert_1)\) mais ne l’est pas dans \((E,\Vert\cdot\Vert_\infty)\).

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1. 1  on peut bien sûr invoquer la remarque préléminaire pour conclure immédiatement, toutefois la preuve qui suit est suffisament intéressante pour la présenter.