Soit \((e_n)_{n\geq 0}\) une base hilbertienne d’un espace de Hilbert séparable. Pour \(n\in\mathbb N\) on pose \[x_n=e_{2n}\quad\text{et}\quad y_n=\sqrt{1-4^{-n}}e_{2n}+2^{-n}e_{2n+1}.\] On désigne par \(X\) le sous-espace vectoriel fermé engendré par la suite de vecteurs \((x_n)_{n\geq 0}\) (i.e. \(X=\overline{\text{vect}(x_n,\ n\geq 0)}\)) et par \(Y\) celui engendré par la suite \((y_n)_{n\geq 0}\).

  1. Montrer que \((x_n)_{n\geq 0}\) et \((y_n)_{n\geq 0}\) sont des bases hilbertiennes de \(X\) et \(Y\) respectivement. Montrer que \(X\cap Y=\{0_H\}\) puis que \(\overline{X+Y}=H\).

  2. Montrer que la série \(\sum_n 2^{-n}e_{2n+1}\) converge dans \(H\) mais que sa somme \(v=\sum_n 2^{-n}e_{2n+1}\) n’appartient pas à \(X+Y\). En déduire que \(X+Y\) n’est pas fermé dans \(H\).


Barre utilisateur

[ID: 2570] [Date de publication: 9 novembre 2022 13:49] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

Solution(s)

Deux sous-espaces fermés dont la somme ne l’est pas
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 13:49
  1. Extraite de la base orthonormée \((e_n)_{n\geq 0}\) la suite \((x_n)_{n\geq 0}\) est orthonormée. Pour la suite \((y_n)_{n\geq 0}\) on a : \(\Vert y_n\Vert^2=(1-4^{-n})+(2^{-n})^2=1\) ; et pour \(n\neq m\) les vecteurs \(e_{2n},\ e_{2n+1}\) sont orthogonaux aux vecteurs \(e_{2m},\ e_{2m+1}\) car les ensembles \(\{2n,2n+1\}\) et \(\{2m,2m+1\}\) sont disjoints : la suite \((y_n)_{n\geq 0}\) est aussi orthonormée. Ce sont des bases hilbertiennes des espaces \(X\) et \(Y\) respectivement, car dans un esapce de Hilbert, toute suite orthonormée est une base hilbertienne de l’espace vectoriel fermé qu’elle engendre.

    Soit \(x=\sum_{n\geq 0}c_ke_k\in H\). Si \(x\in X\cap Y\), de la question précédente nous avons aussi les developpements \(x=\sum_{n\geq 0} a_nx_n=\sum_{n\geq 0} b_ny_n\). Calculons \(c_{2k+1}\) : \[c_{2k+1}=\langle x,e_{2k+1}\rangle = \langle \sum_{n\geq 0} a_nx_n ,e_{2k+1}\rangle=\sum_{n\geq 0}\, a_n\langle x_{n},e_{2k+1}\rangle=0,\] puisque \(\langle x_n,e_{2k+1}\rangle=\langle e_{2n},e_{2k+1}\rangle=0\). Mais on a aussi \[c_{2k+1}=\langle x,e_{2k+1}\rangle = \langle \sum_{n\geq 0} b_ny_n,e_{2k+1}\rangle= \sum_{n\geq 0}\, b_n\langle y_{n},e_{2k+1}\rangle=\langle y_{k},e_{2k+1}\rangle=2^{-k}b_k\] ce qui montre que \(b_k=0,\ \forall\,k\in\mathbb N\) et donc \(x=0_H\).

    Pour vérifier la densité de \(X+Y\) dans \(H\) il est suffisant de montrer que \(X+Y\) contient la base \((e_n)_n\) ; c’est bien le cas puisque pour tout \(n\in\mathbb N\) \(e_{2n}=x_n\in X+Y\) et \(e_{2n+1}=2^n(y_n-\sqrt{1-4^{-n}})\in X+Y\).

  2. La série \(\sum_n 2^{-n}e_{2n+1}\) est normalement convergente, donc convergente dans l’espace complet \(H\). Si le vecteur \(v=\sum_n 2^{-n}e_{2n+1}\) était dans \(X+Y\) on aurait \(v=x+y=\sum_{n\geq 0} a_nx_n+\sum_{n\geq 0} b_ny_n\). En particulier pour \(k\geq 0\) \[2^{-k}=\langle v,e_{2k+1}\rangle=2^{-k}b_k\] ce qui impose \(b_k=0,\ \forall\,k\in\mathbb N\), mais ceci est impossible car la série définissant \(y\) serait divergente.

    Ainsi \(X+Y\) est strictement inclu dans \(H\), comme \(\overline{X+Y}=H\), \(X+Y\) ne peut être fermé dans \(H\).


Documents à télécharger

Deux sous-espaces fermés dont la somme ne l’est pas
Télécharger Télécharger avec les solutions et commentaires

L'exercice