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[ID: 2568] [Date de publication: 9 novembre 2022 13:49] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]

Solution(s)

Solution(s)

La somme de deux sous espaces fermés est-elle fermée ?
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 13:49

Aprés une récurrence élémentaire, on peut se ramener au cas où \(G\) est une droite vectorielle \(\mathbb K g\) de \(E\). Si \(g\in F\) alors \(F+G=F\) qui est fermé et il n’y a rien à démontrer. Supposons donc que \(g\not\in F\), soit \(x\in\overline{F+G}\), et montrons que \(x\in F+G\).

Il existe une suite \((x_n)_n\) dans \(F+G\) qui converge vers \(x\) dans \(E\), les vecteurs \(x_n\) sont donc de la forme \(x_n=f_n+\lambda_n g\) où \(f_n\in F\) et \(\lambda_n\in \mathbb K\). Remarquons que si la suite \((\vert\lambda_n\vert)_n\) ne tends pas vers \(+\infty\) alors l’exercice est résolu : en effet on peut alors on peut alors extraire de la suite \((\lambda_n)_n\) une suite bornée, puis, via Bolzano-Weierstrass dans \(\mathbb K\), une sous-suite \((\lambda_{\varphi(n)})_n\) convergente vers \(\lambda\in\mathbb K\). Dans ce cas, la relation \(f_{\varphi(n)}=x_{\varphi(n)}-\lambda_{\varphi(n)}g\) montre que \((f_{\varphi(n)})_n\) converge vers \(f=x-\lambda g\) qui appartient à \(F\) puisque \(F\) est fermé par hypothèse et finalement \(x=f+\lambda g\in F+G\).

Il reste à vérifier que \((\vert\lambda_n\vert)_n\) ne tends pas vers \(+\infty\). Si tel était le cas, les relations (valables pour \(n\) assez grand) \[g=\dfrac{x_n}{\lambda_n}-\dfrac{f_n}{\lambda_n}\] impliqueraient que \(F\ni f_n/\lambda_n\to -g\) soit, \(g\in\overline F=F\) ce qui est exclu puisque \(g\not\in F\).

L’hypothèse \(G\) de dimension finie est essentielle : en général, la somme de deux sous-espaces fermés n’est pas fermée même dans un espace de Hilbert comme on peut le vérifier dans l’exercice ci-dessous.