L’espace \(l^2(\mathbb N)\) des suite réelles de carré sàmmable est muni du produit scalaire usuel. On fixe \(\alpha\in]-1,1[\) et on pose pour tout \(i\in\mathbb N^\star\) : \(U_i=(\alpha^{ni})_{n\geq 0}\).

  1. Montrer que \((U_i)_{i\in\mathbb N^\star}\) est une famille libre de \(l^2(\mathbb N)\).

  2. Calculer l’orthogonal dans \(l^2(\mathbb N)\) de \(F:=\text{vect}\{U_i,\ i\in\mathbb N^\star\}.\)

  3. Que peut-on en déduire ?


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[ID: 2566] [Date de publication: 9 novembre 2022 13:49] [Catégorie(s): Topologie ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Patrice Lassère ]




Solution(s)

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Une famille totale dans \(l^2(\mathbb N)\)
Par Patrice Lassère le 9 novembre 2022 13:49
  1. Dire que la famille \((U_i)_{i\in\mathbb N^\star}\) n’est pas libre dans \(l^2(\mathbb N)\) c’est dire qu’il existe \(N\in\mathbb N^\star,\ \lambda_1,\dots, \lambda_N\in\mathbb R\) non tous nuls, tels que \[\lambda_1 U_1+\dots+\lambda_N U_N=0_{l^2(\mathbb N)}\] soit \[\lambda_1(\alpha^k)_k+\lambda_2(\alpha^{2k})_k+\dots+\lambda_N(\alpha^{Nk})_k=(\lambda_1\alpha^k+\lambda_2\alpha^{2k}+\dots+\lambda_N\alpha^{Nk})_k=0_{l^2(\mathbb N)},\] ou encore, si \(P(X)=\lambda_1 X+\lambda_2 X^2+\dots+\lambda_N X^N\in\mathbb R[X]\) \[P(\alpha^k)=0,\quad\forall\,k\in\mathbb N^\star.\] Comme \(\alpha\in]-1,1[\) le polynôme \(P\) a trop de zéros pour ne pas être le polynôme nul donc \[\lambda_1=\lambda_2=\dots =\lambda_N=0\] et la famille \((U_i)_{i\in\mathbb N^\star}\) est bien libre dans \(l^2(\mathbb N)\).

  2. Soit \(X=(x_k)_k\in l^2(\mathbb N)\). \[\begin{aligned}\left( X=(x_k)_k\in F^\perp\right) &\Longleftrightarrow\left( \langle X,U_i\rangle=0,\quad\forall\,i\in\mathbb N^\star\right) \\ &\Longleftrightarrow\left( \sum_{k=0}^\infty x_k\alpha^{kj}=0,\quad\forall\,i\in\mathbb N^\star\right). \end{aligned}\] Comme \(X=(x_k)_k\in l^2(\mathbb N)\), le rayon de convergence de la série entière \(f(z)=\sum_{k=0}^\infty x_k z^k\) est supérieur ou égal à \(1\) ; la formule établie au dessus assure alors que \(f\) s’annule sur tous les points de la suite \((\alpha^k)_k\) convergente vers \(0\) : l’ensemble des zéros de \(f\) dans le disque unité ouvert n’est donc pas isolé, classiquement (voir par exemple : [fgnan2] exercice 3.31, inutile d’invoquer les zéros isolés...) \(f\) est identiquement nulle, i.e. \(x_k=0,\ \forall\,k\in\mathbb N^\star\) i.e. \(X=0_{l^2(\mathbb N)}\) et \(F^\perp=\{0_{l^2(\mathbb N)}\}\).

  3. \(F^\perp=\{0_{l^2(\mathbb N)}\}\) implique que \(\overline F=l^2(\mathbb N)\) (c’est une conséquence immédiate du théorème de projection orthogonale sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert car \(F^\perp=(\overline{F})^\perp\)) autrement dit, la famille \(\{U_i\}\) est totale dans \(l^2(\mathbb N)\).


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